Per una presentazione dell’opera, rimando all’omonima sezione che potete trovare nella homepage di Sillabe.

7. Rispettabili allucinazioni

7.1 Ai bordi di ragione e di coscienza

Compito del linguaggio è sempre stato, anche, quello di affrontare il falso, l’assurdo, l’inverosimile, il sogno; e la menzogna deliberata, e l’irrazionale. Che tutto ciò fosse formalizzabile o meno, che lasciasse spazio all’ambiguità e quanto, è poi questione a parte. L’incessante lavorio di ridefinizione di questi ambiti, comunque, ne ha arricchito le possibilità espressive e, continuando a inseguire i propri vuoti, ci interroga ancora sui limiti e sulla profondità, e in definitiva sulla realtà, di quel che diciamo.

Si può anche cavillare sul concetto di realtà, a dirla tutta: al fine di designare l’esistente che non ha ancora raggiunto la propria verità concettuale, per esempio, Hegel si premura di dire esplicitamente che non tutto ciò che esiste è per ciò stesso anche reale, e introduce con ciò un criterio secondo cui distinguere, entro il presente, ciò che ne costituisce la sostanza razionale duratura da ciò che ne è la scoria transitoria e già condannata al proprio superamento. A questo punto, una volta delimitato il campo delle parole, ciò che è razionale è reale, e ciò che è reale è razionale, e l’irrazionale è dentro alla ragione come suo proprio motore negativo.

Ciò premesso, la necessità di ricondurre, in qualche modo, l’irrazionale nel canone del dicibile è un’impresa che ha coinvolto, in maniera diversa, sia il pensiero greco classico che quello cristiano. Con un caveat riguardo ai termini usati: parlare di “irrazionale” a proposito della Grecia classica significa esporsi a un rischio anacronistico, perché la coppia concettuale ragione/irrazionale è, nella forma che usiamo oggi, un prodotto post-illuminista, sedimentato poi attraverso Kant, il positivismo ottocentesco e infine la psicoanalisi. Sappiamo però, dagli studi storiografici di Bruno Snell, Eric R. Dodds e seguenti, che la stessa cultura che ha elaborato il nomos e il logos è stata attraversata da fenomeni che essa stessa non era in grado di ricondurre a un ordine puramente razionale, e che comprendevano la mania profetica, l’entusiasmo dionisiaco e la ate tragica come frutto della hybris; quest’ultima già vista peraltro nell’epica omerica quando per esempio Agamennone, nel libro XIX dell’Iliade, dovendo giustificare il torto fatto ad Achille, attribuisce la propria condotta a un accecamento mandato da Zeus. Non è un tentativo di scarico della responsabilità in senso moderno, però: l’intervento divino non sostituisce la volontà dell’eroe, bensì la attraversa, giacché la mente dell’eroe omerico è un campo aperto, permeabile a forze che possono essere insufflate dall’esterno senza per questo essere avvertite come estranee. Dall’età arcaica a quella classica la responsabilità si sposta progressivamente verso l’interno, dalla vergogna alla colpa, senza però mai recidere del tutto il legame con l’agentività divina, ed è qui che si gioca l’agone tragico.

C’era anche modo di istituzionalizzare l’irrazionalità in forme regolate, peraltro: la divinazione, che aveva in Delfi la definizione del suo paradigma, presupponeva una teoria implicita secondo cui la verità non era attingibile in via puramente discorsiva ma necessitava di una sospensione temporanea dell’identità cosciente del soggetto che trasmetteva la profezia. L’entusiasmo con cui la Pizia profetizza è, preso alla lettera, uno stato esistenziale in cui il soggetto è ricolmo di un dio: non è la Pizia che parla, è Apollo a farlo attraverso di lei. Oggi, stiracchiando molto i confini nella pretesa di accogliere le nuove esigenze tecnologiche, parleremmo di un modello di produzione linguistica in cui il soggetto enunciante non coincide con la fonte del senso prodotto. Platone, nel Fedro, distingue quattro forme di mania (divina, profetica, telestica o rituale, poetica ed erotica) e le colloca esplicitamente al di sopra della sophrosyne, vale a dire del controllo razionale di sé: è un modo per esprimere il concetto che razionale e irrazionale non stanno mai in pura opposizione, quanto piuttosto in una relazione di implicazione reciproca.

Il che può anche avere risvolti violenti, basti pensare all’estasi dionisiaca e alla sua rappresentazione tragica nelle Baccanti di Euripide, in cui in teatro — che è pur sempre momento di aggregazione civile e di partecipazione politica — entrano in scena le baccanti tebane, prese dalla mania del dio, che abbandonano la città per i monti, sospendono i ruoli familiari e sociali e si pongono in uno stato di comunione estatica con la natura selvaggia, in contrapposizione con il re di Tebe Penteo, che incarna la ragione di stato e tenta di reprimere per via giuridica e militare il culto dionisiaco. Walter F. Otto propone per l’appunto Dioniso come dio che manifesta la propria potenza proprio nell’esperienza del limite, della dissoluzione dell’individuazione; Dioniso, che è un dio che muore, e che è la valvola attraverso cui una cultura fondata sulla misura elabora ritualmente ciò che eccede ogni misura. Non a caso la tragedia attica nasce in un contesto storico, l’Atene democratica del V secolo tra Clistene e Pericle, in cui le categorie giuridiche e politiche della polis si sono già affermate, ma non hanno ancora esaurito, né mai potrebbero, l’ambito dell’agire umano. Per quanto la sua ricostruzione sulla nascita della tragedia sia stata in larga parte superata sul piano storiografico, si deve dare credito a Nietzsche di aver colto l’effetto della tensione irrisolta tra l’elemento apollineo e quello dionisiaco.

Platone, s’è visto, pur celebrando e accogliendo la mania divina, ha un atteggiamento sospettoso; a tal punto che, constatando la capacità del poeta di esprimersi solo quando è fuori di sé ed è posseduto dalla Musa, nella Repubblica pensa bene di espellere i poeti in blocco dalla città ideale perché la loro arte, mimesi di un mondo già esso stesso copia delle Idee, alimenta la parte irrazionale dell’anima a scapito di quella razionale, che i filosofi possiedono; e giustappunto grazie a questo possesso dovrebbe spettare ai filosofi il governo della città.

Nel mondo cristiano l’irrazionale è lo skandalon, la pietra d’inciampo che la ragione umana non può assimilare senza prima riconoscere il proprio fallimento, quando invece il pensiero greco gli consentiva di essere un’esperienza che eccede la ragione lasciandola però intatta nel proprio ambito residuo (anche la Pizia, tra una profezia e l’altra, si riposa). Partiamo sempre da Paolo, giacché il cristianesimo è in buona parte, almeno agli inizi, opera sua: introducendo, nella prima lettera ai Corinzi, il concetto della “stoltezza di Dio”, Paolo pone l’irrazionale alla stregua di una categoria positiva e paradossale, collocata non sotto la ragione bensì, dichiaratamente, al di sopra di essa. Con parole sue: Dio ha scelto ciò che è stolto per il mondo per confondere i sapienti (1 Cor 1, 27). Non è professione di antintellettualismo: una sapienza esiste, solo che non ha più sede nella dimostrazione o nella persuasività retorica, ed è stata anzi trasferita nella potenza dello Spirito. Vedremo quest’idea messa in pratica a più livelli, fino a spingersi al parossismo nell’esperienza mistica dei primi stiliti siriaci o, più avanti, nei grandi mistici della Riforma cattolica spagnola, da Teresa d’Avila a Giovanni della Croce. È da notare che l’irrazionale si sposta dalla dimensione “cittadina” e pubblica che aveva nella civiltà classica per diventare un evento pervicacemente individuale, verificato e disciplinato dall’istituzione ecclesiale attraverso i suoi confessori e i suoi tribunali del discernimento degli spiriti.

Una più tarda e rigorosa elaborazione della “follia della croce” verrà data da Kierkegaard in Timore e tremore quando viene analizzato il sacrificio di Isacco. Abramo, nell’atto di obbedire al comando divino di uccidere il proprio figlio, compie un gesto che nessuna categoria etica universale potrebbe giustificare o comprendere; agisce perché sospende l’etica in nome di un rapporto assoluto con l’Assoluto, diventa “folle” secondo la definizione socialmente accettabile, incarnando il paradosso per cui la fede comincia appunto là dove finisce il pensiero logico. Di altri tentativi di riconciliare fede e ragione è piena la storia della filosofia, in effetti; ma queste discrasie concettuali permangono, e vengono costantemente sussunte da tutto ciò che la fede personale non intende ricondurre alla ragione propriamente detta.

Mistici e filosofi, a dire il vero, si sono anche guardati con giustificata malfidenza. Il caso più noto è probabilmente quello della polemica imbastita da Immanuel Kant nei confronti di Emanuel Swedenborg: il quale aveva alle spalle una solida carriera come scienziato e ingegnere prima di attraversare, intorno alla metà degli anni Quaranta del Settecento, una crisi visionaria che lo condusse a dedicare il resto della vita alla stesura di un’imponente opera teologica fondata sulla pretesa di conversare quotidianamente con angeli e spiriti e di poter descrivere, con dovizia di particolari, la struttura del mondo ultraterreno. Si dà atto a Kant di non averne mai liquidato i tentativi profetici come mera impostura, trattandoli piuttosto come fatti da indagare con acribia filosofica. Il filosofo ne uscirà, comunque, con le armi dell’ironia, affrontando in astratto la questione della possibilità di spiriti immateriali e della loro eventuale interazione con la materia, discutendo criticamente le posizioni della metafisica razionalista e utilizzando Swedenborg non come bersaglio personale ma come specchio grottesco della metafisica accademica: se il visionario svedese sogna ad occhi aperti un mondo di spiriti comunicanti, il metafisico di scuola sogna, con pari mancanza di controllo empirico, un mondo di enti razionali di cui non può in alcun modo verificare l’esistenza al di fuori della coerenza interna del proprio sistema concettuale. Al di là dell’ironia, Kant qui anticipa il grande tema dei limiti della ragione umana che svilupperà appieno nella Critica della ragion pura, quando dichiarerà che la ragione umana, priva del riferimento a un’intuizione sensibile, non ha alcun criterio per distinguere, al proprio interno, un’affermazione vera da una semplice costruzione concettuale coerente ma vuota. Prendendo spunto dal titolo del pamphlet kantiano, I sogni di un visionario spiegati con i sogni della metafisica (e torneremo ai sogni a breve), è da notare infine il fatto che all’epoca il termine visionario non aveva ancora traslato il proprio significato per designare in positivo qualche miliardario affascinato dall’interpretazione escatologica della tecnologia, e conservava intatta la sua carica problematica.

L’argomento dei veggenti è in compenso estremamente proficuo per ragioni poetiche, anche in epoca recente, e si spinge a creare situazioni nuove fino almeno al pieno Novecento. Nella tradizione poetica occidentale, la figura del veggente è infatti sospesa fra la sapienza del profeta antico e la crisi conoscitiva della modernità: si tratta spesso e volentieri di un personaggio scisso, cieco o comunque irriducibile a un io coerente, che esercita le sue capacità con — doverosa, in effetti — ambiguità. Arthur Rimbaud nel 1871 ne teorizza i crismi in una famosa lettera al suo antico maestro Paul Demeny, e lo fa in maniera lapidaria stabilendo che l’io è un altro: il soggetto poetico non coincide con l’io empirico che scrive, ma si scopre attraversato, quasi posseduto da un’alterità che lo precede e lo eccede, e che non ha a che fare con la Musa in senso classico. Il poeta è, piuttosto, dislocato internamente, una persona trasmutata in luogo di passaggio. Se ne deduce che, se io è un altro, allora conoscere significa uscire da sé, e per farlo bisogna sottoporsi a un sistematico sregolamento di tutti i sensi. Il poeta veggente si fa tale come se si trattasse di un lavoro, e non di uno stato di grazia: un lavoro intenso e a suo modo molto disciplinato, nel quale egli cerca di raggiungere l’ignoto portando nella propria anima tutti i veleni per non conservarne che la quintessenza. Come direbbe Amleto, ci dev’essere del metodo in questa follia. Per superare la soglia oltre la quale il linguaggio comune non arriva c’è bisogno di un impegno ostinato nelle tecniche e nelle arti della sofferenza e dell’eccesso. Il veggente rimbaudiano riprende, secolarizzandola, la figura dello sciamano o quella del profeta iniziatico: come loro attraversa una prova che lo mette a rischio per riportare agli uomini un sapere altrimenti inaccessibile, senza nemmeno la certezza che si tratti un accesso stabile alla verità. Come già fece Prometeo, del resto; a differenza del titano che sfidò Zeus, la pena che potrebbe spettargli in sorte non è però il finire incatenato a una roccia mentre l’aquila gli rode il fegato, eternamente cosciente della propria posizione cosmologica, ma la definitiva perdita del sé. Nella medesima lettera Rimbaud prospetta la necessità di un linguaggio nuovo, capace di dire ciò che la veggenza rivela: sarà allora un linguaggio universale, sinestetico, eternamente e irrimediabilmente in bilico fra esperienza privatissima e destinazione collettiva.

Il più noto dei veggenti del mondo antico, Tiresia, è invece chiamato in causa da T.S. Eliot in una nota a un verso di The Waste Land. Ciò che il veggente esperisce è la sostanza stessa del poema, giacché tutti i personaggi confluiscono in lui, così come le due sessualità si fondono in Tiresia, indovino che oscillò fra uomo e donna, che visse pertanto palpitante fra due vite; che fu accecato proprio per aver visto ciò che non doveva, e che osò incarnare tutte le possibilità dell’esperienza dell’essere umano. Tiresia (e, con lui, il poeta) è, anche, profeta che vive fuori dal tempo lineare, capace di prevedere ciò che accadrà perché ha già visto tutto ciò che è accaduto.

Analizzando le peculiarità della scelta lirica, Eliot elabora una teoria della creazione poetica che rovescia il paradigma romantico dell’espressione personale, per cui l’artista progredisce a patto di mettere in conto un continuo sacrificio di sé, un’estinzione della personalità. Così come un filamento di platino immesso in una camera contenente ossigeno e anidride solforosa favorisce la loro combinazione in acido solforoso, ma il platino stesso non compare in alcun modo nel composto risultante e resta inalterato dal punto di vista chimico, la mente del poeta è il mezzo in cui le passioni si combinano per formare l’opera, ma non è essa stessa la sostanza dell’opera, sempre che sia possibile, diremmo oggi, considerare l’eventualità di un’esperienza umana che non modifica il soggetto che ne prende parte. Lo stesso Tiresia non nasce ex novo dalla penna di Eliot ma è il risultato — come accade in tutto ciò che riguarda il mito, del resto — di una lunga catena di riscritture che includono il veggente tebano di Sofocle, l’episodio ovidiano della doppia incarnazione sessuale narrato nelle Metamorfosi, la rielaborazione vittoriana di Tennyson, e perfino un’eco del Satyricon di Petronio in cui non Tiresia ma una a lui affine Sibilla chiede soltanto ormai di morire.

Comunque sia, incarnando la molteplicità dell’umano, e anche se parla in prima persona, Tiresia è, allo stesso tempo, impersonale: è il medium attraverso cui la tradizione letteraria, sedimentata e continuamente riorganizzata, trova nuova espressione; se dal lato rimbaudiano avevamo la scissione del soggetto, qui al contrario abbiamo la consustanzialità di ogni possibile voce. Eppure, in entrambi i casi, la veggenza non produce mai un sapere univoco e trasmissibile senza residuo, e il linguaggio resta ellittico, frammentario, incapace di rivelazioni compiute, tanto che in Eliot finisce addirittura con una giustapposizione di citazioni in lingue diverse, lasciate lì senza speranza di sintesi, e tutte necessarie a riflettere una parte del mondo di cui cercano di dire qualcosa.

Di altre esperienze di visione mantica o di incapacità di linguaggio razionale si si nutre la modernità poetica. Vale la pena di vederne qualcuna, perché ciascuna di loro contribuisce a definire degli aspetti delle potenzialità espressive della poesia. Pensiamo per esempio ai Canti Orfici di Dino Campana, già dal titolo messi a far da testimonianza a una discendenza esplicita della tradizione orfica, nella quale la poesia è intesa come canto che viene da altrove, attraverso il poeta piuttosto che dal poeta. In forza di ciò la scrittura procede per visioni allucinate legate fra loro non da una consequenzialità narrativa ma da un’associazione ritmico-sonora che precede il senso logico. La biografia dei due autori dice il resto: Rimbaud abbandona la poesia a vent’anni, per scelta; pochi anni dopo aver scritto i canti Orfici Campana viene internato nel manicomio di Castel Pulci e non ne esce fino alla morte; il suo linguaggio resta personale, incomunicabile se non nella forma frammentaria e ipnotica del testo stesso, e non promette di farsi tramite verso l’umanità. Si potrebbe pensare a un Campana definitivamente perduto nel destino del veggente, ma il montaggio dei Canti Orfici risulta in realtà assai meno ingenuo di quanto la biografia clinica suggerirebbe, dal momento che revisioni continue, tagli e autocitazioni interne indicano un controllo formale che convive con la dissoluzione psichica, senza che l’uno spieghi o annulli l’altra. Insomma, non possiamo stabilire dove sia il confine tra una visione governata e un delirio passivamente subìto.

Cosa può vedere, un poeta? E cosa può dire? La relazione fra queste due “cose” è sempre stata materia di contrattazione, non meno della natura dei loro contenuti. Un caso paradigmatico in cui il linguaggio entra in crisi, eppure sopravvive a sé stesso perché si dà compito di vedere ciò che è accaduto restando all’interno di una lingua compromessa, senza cioè la possibilità di un corpus di parole almeno in parte nuovo e incontaminato, è quello dell’opera poetica di Celan. Paul Celan, ebreo rumeno di lingua tedesca, sopravvissuto ai campi di lavoro nazisti e ai lager in cui i genitori furono uccisi, scrive infatti la propria opera nella medesima lingua in cui quella catastrofe è stata concepita, ordinata e amministrata con feroce e inappuntabile acribia burocratica; e si trova fra le mani — nella testa, nella voce, ancor di più — una lingua che porta in sé la traccia di un uso criminale, tale per cui ogni parola rischia di riattivare il recente Male. Il risultato è prima un meccanismo di imitazione della fuga musicale, in cui le frasi si ripetono e si deformano progressivamente, accumulando varianti minime che ne mutano il senso senza mai concedersi una forma stabile, e in cui la ripetizione ossessiva di formule brevi crea un effetto liturgico e insieme meccanico, che imita, a livello formale, la routine amministrativa dello sterminio. La testimonianza del poeta veggente manca della voce profetica che annuncia dall’esterno; è, anzi, interna all’evento che descrive, segnata dalla ripetizione ossessiva che essa stessa denuncia. In seguito la lingua di Celan si fa via via più spezzata, quasi disintegrata tra neologismi, composti inediti, sintassi ridotta a frammenti minimi e silenzi tipografici; spinta al punto di rottura fino al balbettio, la peculiarità del poeta come colui che vede e colui che dice è annichilita nel momento in cui è il linguaggio stesso a essere violato.

Il dato comune dell’impossibilità di un linguaggio semplicemente trasparente rispetto a ciò che il poeta ha visto è così declinato in una pluralità spesso inconciliabile che è, a sua volta, funzione della ragione di tale impossibilità; che si tratti di problemi clinici, di dissoluzione del soggetto o della sua frattura, o di compromissione della lingua, ogni verso parla per sé, come se fosse chiamato a riflettere in una minima goccia di liquido luci e ombre che non smettono mai di rincorrersi.

E, se l’irrazionale attinge talora lo stato di veglia, più o meno cosciente che sia, nel sogno trova spazi di sfogo che sono, per forza di cose, molto maggiori. Esperienza universale e al contempo personale, il sogno ha trovato nel corso della storia una serie di interpretazioni diverse, che l’anno visto oggetto di indagine filosofica, scientifica, religiosa, psicologica e, non da ultimo, letteraria e poetica. Nell’epica omerica il sogno si chiama ὄνειρος e non è ancora l’oggetto di una introspezione psicologica, ma è piuttosto evento che accade al soggetto dall’esterno: una figura, spesso un dio o un’ombra travestita da persona cara, si presenta al dormiente e gli parla. Può essere veritiero o mendace, a seconda che esca dalla porta di corno o da quella d’avorio, come abbiamo ricordato nel capitolo 1; in ogni caso, per negarne l’origine divina bisogna attendere Aristotele, che reputa i sogni un prolungamento delle percezioni sensoriali diurne rielaborate durante il sonno.

I sogni tuttavia si meritano una scienza, o un’arte, dedita alla loro interpretazione, e l’oniromantica è il modo in cui si cerca di darvi una sistematizzazione. Il testo di riferimento della cultura classica, che sarà letto e studiato anche da Freud, è per l’appunto l’Oniromantica di Artemidoro di Daldi (II secolo d.C.), vasto repertorio che classifica i sogni secondo tipologie e ne offre chiavi interpretative fondate sull’analogia, sul gioco linguistico e sulla condizione sociale del sognatore. Il sogno può riflettere uno stato fisiologico oppure prefigurare eventi futuri, e in tal caso va decifrato con metodo; in più, uno stesso simbolo onirico può significare cose opposte a seconda di chi lo sogna, e occorre pertanto inquadrarlo in un opportuno contesto.

Il cristianesimo tardoantico eredita questa tradizione e la ribalta. Il sogno resta un canale privilegiato di comunicazione divina, e basti pensare ai sogni di Giuseppe nel Vangelo di Matteo; tuttavia, la possibilità che dietro l’immagine onirica si celi non Dio bensì il demonio introduce un’urgenza ermeneutica nuova, vale a dire che più che il contenuto del sogno è fondamentale sapere da chi esso proviene. Il monachesimo del deserto, già brulicante di penitenti e mistici d’ogni sorta che non lesinano di aver visioni da svegli, si dedica in misura particolare al discernimento degli spiriti, e a descrivere sogni come uno dei terreni privilegiati su cui i demoni tentano l’asceta, sfruttando le passioni non ancora sradicate dall’anima per insinuarvi immagini ingannevoli durante il sonno, quando la vigilanza razionale è per definizione sospesa. Anche Agostino nelle Confessioni non può esimersi dall’affrontare la questione: nel libro X si interroga, con un certo qual pudore nei confronti del quale è facile sentirsi solidali, sul perché le immagini di peccato che la volontà ha ormai vinto nella veglia continuino a tornare, vivide e consenzienti, nei sogni; e si domanda altresì se di questi moti onirici, sottratti al controllo della ragione, egli sia comunque responsabile davanti a Dio. I sogni cristiani, come quelli greci, vanno formalizzati: e così Gregorio Magno nei Dialoghi pensa bene di distinguere sei cause dei sogni, che sono combinazione di fattori fisiologici, psicologici o spirituali, dal momento che possono dipendere, nell’ordine, dallo stomaco pieno o vuoto, dai pensieri o dalle preoccupazioni, dalla rivelazione divina o dall’illusione diabolica. Tassonomia normativa, questa, che si manterrà per tutto il medioevo, almeno in ambito europeo.

L’ultimo perno su cui basare un discorso sul sogno, almeno fino all’approccio neuroscientifico che vedremo nella prossima sezione integrandolo con le allucinazioni, è per forza di cose l’opera di Freud: per il quale il sogno torna a essere un testo da decifrare secondo un metodo rigoroso, composto com’è da un contenuto manifesto, ciò che ricordiamo al risveglio, e da un contenuto latente, il pensiero onirico rimosso che quel contenuto manifesto insieme esprime e occulta. L’origine del sogno viene spostata dall’esterno all’interno del soggetto che sogna: ma ciò non restituisce al sogno alcuna forma di trasparenza, giacché esso continua a essere un testo cifrato, in cui il sistema di decodifica rimanda ora a un rimosso che il soggetto porta in sé senza saperlo.

I sogni sono anche, e per nostra fortuna, multiforme scaturigine dell’esperienza letteraria: da soli riescono a porsi come dispositivo narrativo che autorizza un intero testo, ne giustifica le licenze e ne orienta la lettura filosofica. Eccoli dunque all’inizio dell’epoca moderna a rendere conto dei temi del disinganno che scopre la vanità e la caducità delle apparenze mondane riducendole a ombra o sogno, come in Quevedo o in Calderon de la Barca, eco lirica e teatrale dei coevi tormenti che dettero a Descartes lo spunto di dirimere quale fosse la veglia e quale il sonno, e il susseguente dubbio iperbolico, impostando l’intero Discorso sul metodo; eccoli ancora diventare un espediente di metateatro in Shakespeare, quando l’intera vicenda degli amanti smarriti nel bosco sotto l’influsso delle pozioni di Puck può essere letta, e viene esplicitamente proposta al pubblico nell’epilogo del Sogno di una notte di mezza estate, come sogno collettivo, o quando Prospero nella Tempesta ricorda a sé stesso e agli spettatori che siamo fatti della sostanza di cui son fatti i sogni. Eccoli ancora nelle visioni e nelle trascrizioni del frate domenicano Francesco Colonna, che nella Hypnerotomachia Poliphili fonde nella medesima cornice onirica — l’unico luogo dove ciò è possibile, peraltro — l’eredità del songe allegorico medievale (che coinvolge sia il Roman de la rose che l’impianto immaginifico e allegorico della Commedia dantesca), ossia le situazioni in cui il sonno è convenzione che autorizza il viaggio attraverso un paesaggio integralmente simbolico, e l’enciclopedismo antiquario dell’Umanesimo, il che fa sì che nella Hypnerotomachia veniamo soverchiati da un’orgia descrittiva di ordini architettonici, iscrizioni geroglifiche fittizie, epigrafi in latino, greco, ebraico e caratteri arabi inventati, cataloghi di piante e di gemme; il tutto senza trascurare la concezione dell’eros neoplatonico, che vede appunto l’ascesa erotica come via di conoscenza.

E ancora, in epoca contemporanea, arrivano i sogni influenzati dalla psicanalisi, come in Doppio sogno di Arthur Schnitzler, o i sogni della fantascienza: quelli di Goroge Orr in La falce dei cieli di Ursula K. Le Guin, che possono cambiare retroattivamente la realtà modificando i ricordi dell’umanità intera; o, in un certo senso, anche la semivita comminata da Philip Dick ai personaggi di Ubik, costretti a condividere un progressivo sfaldamento della realtà in cui sparisce anche il confine netto tra la vita e la morte. Dormire, morire, forse sognare, chioserebbe Amleto.

Fin qui, un tratto umanissimo e comune, tanto ovvio da risultare sottinteso: qualunque cosa il sogno significhi, e da qualunque fonte provenga (un dio, un demonio, l’inconscio), esso accade a qualcuno. Cioè, nello specifico, a un essere umano, reale o fittizio ma comunque collocato nel tempo e nello spazio, e a cui siamo in grado di attribuire una identità. Il fatto di confrontarci con dei sistemi artificiali in grado di generare discorsi credibili, o quantomeno plausibili, e in ogni caso sintatticamente indistinguibili da quelli prodotti dalle persone in carne e ossa, solleva la domanda se abbia senso parlare di sogni anche nel caso di agenti privi di intelligenza. No, saremmo portati a dire: c’è bisogno di una consapevolezza di sé che i modelli non hanno, e che al più imitano ponderando vizi e virtù delle parole umane. Anche le loro cosiddette allucinazioni, vedremo nella prossima sezione, non sono pienamente assimilabili alle nostre, perché sono frutto di percorsi interni non sovrapponibili a quelli umani, pur generando output compatibili. Però la domanda dice molto su di noi, ed è pertanto il caso di analizzarla un po’ meglio.

Torniamo quindi immediatamente a Philip Dick, stavolta nella veste di creatore de Il cacciatore di androidi. Siamo in un mondo post-apocalittico in cui la maggior parte degli animali è estinta, sostituita da simulacri meccanici indistinguibili all’apparenza dagli originali, e in cui gli androidi (o i replicanti, se preferiamo la versione cinematografica di Blade Runner) fuggiti dalle colonie extramondo sono indistinguibili, a un esame superficiale, dagli esseri umani. La domanda attorno a cui ruota il libro è se essi abbiano un’interiorità nascosta, uno strato inaccessibile all’osservazione esterna e tuttavia decisivo per stabilirne lo statuto morale. Il sogno non risolve l’incertezza sull’interiorità del replicante: anzi, la rende più acuta, perché inserisce l’ulteriore domanda se un desiderio rivolto a un oggetto già simulato sia un desiderio autentico o solo un’altra simulazione. A differenza degli androidi di Dick, i modelli linguistici non accumulano una storia personale; se ricordiamo le riflessioni di Chalmers nello scorso capitolo, abbiamo difficoltà anche a stabilire se l’identità del modello esista nei momenti tra un utilizzo e l’altro. Per cui è lecito al più domandarsi se, nella nozione di sogno, si possano isolare dei tratti formali indipendenti dalla coscienza che tradizionalmente li ospita, e verificare se un dispositivo non cosciente possa istanziarli a livello strutturale. Per esempio, potremmo concentrarci sul fatto che il sogno non ha un ancoraggio percettivo diretto, cioè che non risponde a uno stimolo sensoriale presente, ma rielabora tracce già vissute — o, in questo caso, la descrizione linguistica di tali tracce. Oppure sul fatto che un sogno non è né vero né falso, perché non si presenta come asserzione sul mondo. Sono dati strutturali, questi, che assomigliano alla generazione testuale di un modello linguistico. Sogni senza sognatori, per così dire.

Al contempo, nel fare simili confronti, dobbiamo tenere presente l’inclinazione umana a proiettare sui modelli linguistici, che “parlano” come noi, le nostre stesse esperienze. Qui, più che a Turing, tocca fare riferimento al Teeteto, e alla tesi secondo cui la conoscenza coinciderebbe con la percezione, a cui Protagora ribatte sostenendo che ogni cosa è, per ciascuno, così come a ciascuno appare. Lo stesso Protagora, che nel dialogo omonimo aveva raccontato il mito di Prometeo, aveva lasciato intendere che l’invenzione della tecnica corrispondesse alla necessità dell’uomo di colmare la misura che gli manca in natura, e che pertanto l’umanità costruisca artefatti a sua misura, coi quali poi si relaziona cognitivamente col resto del mondo. Sicché, quando oggi costruiamo macchine capaci di linguaggio, queste eredino fin nella loro struttura più profonda la forma di chi le ha costruite, dai dati che ci vengono immessi alla scelta dei pesi con cui valutarli e delle categorie con cui i dati sono alla fine descritti.

Continuiamo a specchiarci nei nostri simulacri.

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Vickery, John B. «Tiresias and The Waste Land». In The Literary Impact of The Golden Bough. Princeton: Princeton University Press, 1973.

Questo mese parliamo di simmetrie.

Buona lettura!

L’incontro

Così, io sto cercando quella faccia da quattro mesi ormai; l’estate greve ed un principio insipido d’autunno hanno formato insieme su di me un incredibile strato di polvere. Il tempo non dà tregua, e scorre via, pieno di ruggine sulle colline e nelle strade vuote dei villaggi. C’è pace, adesso, o quasi, o lo si crede, leggendo i resoconti e ascoltando con triste gratitudine il silenzio; felicità o sollievo, non ancora.

M’han detto di venire, e son venuto. Ma la mia preda sfugge alla minaccia come fa il cuore dai miei desideri. Ci si rincorre, molto lentamente: armato, io, di fucile e pazienza, lui di pazienza e di tempo maggiore. Io so che faccia ha, questo nemico: e ne conosco gli anni, e la statura, la storia lunga dei suoi movimenti, i nomi interi della sua famiglia, gli amici veri, i morti, e quelli falsi. So tutto, e lo rincorro, e non lo trovo. Osservo il volto ancora, dalla foto. Perfetto, lo direbbe una ragazza, e a malincuore lo ammetto pur io. Simmetrico in tutti i suoi dettagli: sembra che in mezzo, sul dorso del naso, il mondo (la genetica, il destino) abbia tracciato una linea scabrosa, innaturale e maligna perfino, e abbia ripiegato in due metà quel che s’è dato in un unico stampo. Guardo la foto e poi la metto in tasca.

È strano, credo, l’antico rapporto che l’uomo ha con queste simmetrie; e già l’analogo e vasto rapporto che il mondo intero (la sorte, la vita) mantiene con la dura matematica che delle simmetrie dona coscienza. Da un lato, lo si sa, le si desidera; dall’altro lato ci fanno paura. Ma non paura semplice: l’orrore, il senso che qualcosa, in quelle forme, si nutra di un inganno del demonio, che vi sia morte priva d’ogni errore; giacché dell’esistenza lo sviluppo è sempre stato previsto e concesso dalla pietosa presenza di errori, modifiche talvolta impercettibili di una scrittura biologica e fisica, il caso che si insinua nella chimica, e la necessità che lo dirime.

D’altronde, se sappiamo — e io la so — la storia dell’intera matematica, le simmetrie sono un fatto di legge; riflesso dell’immagine divina, o della sua parola, ch’è lo stesso. La possibilità di dare corso all’invarianza per trasformazioni, la semplificazione necessaria di ciò ch’è nato comunque complesso, le regole dell’algebra supreme, e poi quel fatto — bellissimo anch’esso — che tutto ciò si riesce a trasferire nel mondo naturale della fisica, perché per ogni simmetria che sia discreta si sa che corrisponde, nel reale, il conservarsi d’aspetti del moto. Avevo sempre studiato, da giovane, l’imposizione di quei requisiti che dalla simmetria fan scaturire perfino l’esistenza infinitesima di particelle dette elementari. E, almeno fino a quattro mesi fa, m’immaginavo che la simmetria avesse certo a che fare con l’arte, e con la scienza e con la matematica; ma non — e l’ho scoperto a spese mie, con il terrore viscido e l’inedia che da quel giorno ormai mi porto addosso — con l’esistenza, diciamo minuta, di gente come me, o come tutti; non con la caccia all’uomo persistente.

Eppure sono qui. E viene sera. Ho voglia di dormire, e lo farò, almeno qualche ora, leggermente. Suppongo che l’uomo dal volto perfetto — dirò simmetrico, pari, inumano — abbia bisogno anch’egli di dormire; il corpo, dentro, avrà l’inquietudine uguale a quella di chiunque altro, avrà dei meccanismi e delle regole che s’assoggettano all’imperfezione. E quindi dormirà per poche ore, e si riposerà per poi riprendere, domani molto presto, la sua fuga.

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Le altre rubriche di Sillabe, ormai lo sapete, sono riservate agli abbonati: Cronache metriche del dopo (che esce dopodomani) e Il verso delle cose, ogni mese, e Note in controtempo, un mese sì e un mese no. Le consuete puntate di Sillabe-per-tutti escono il venerdì con le escursioni poetiche nella scienza di Teoria dei canti e il mercoledì, dallo scorso settembre fino alla fine dell’anno, con Codici e versi che specula e divaga sui rapporti tra la parola poetica e le costruzioni linguistiche dell’intelligenza artificiale. Se volete dare un’occhiata a tutto questo c’è l’archivio a vostra completa disposizione. E, se vi va di ascoltare qualcosa, vi ricordo che faccio parte del gruppo di poeti residenti di Banda Poetica, podcast mensile di poesia: ci trovate su Spotify, su Apple Music, insomma, ovunque ascoltiate i podcast.

Oggi invece parliamo di libri e basta.

Parliamo di libri e parliamo di uomini comuni di fronte alla guerra: partendo dall’assunto, caro a Tolstoj che ci ha dedicato ampie pagine in Guerra e pace, secondo cui la storia non è fatta dai grandi uomini: Napoleone, Alessandro, Kutuzov non sono i motori degli eventi. Ne sono, al più, i nomi, e gli eventi risultano dalla somma di un numero infinito di volontà e azioni individuali, minime e per lo più inconsapevoli, di quelle quantità infinitesimali che sono gli esseri umani comuni. Di qui il noto paradosso sulla libertà per cui l’uomo, nella vita vissuta, si sente libero; considerato come parte della storia, è soggetto a necessità. Più un uomo è in alto nella scala sociale, più è vincolato dalla rete delle relazioni e meno è libero; “il re è lo schiavo della storia”. Eppure, raramente sono i re — o le loro moderne controparti — a combattere in prima persona; oggi pertanto assumeremo uno sguardo dal basso, per cui la storia si vede nei rifugi, nelle cucine, nelle celle, e solo in un secondo momento negli stati maggiori.

Il primo libro a farci da scorta in questo acre percorso è anche il più recente: La linea zero di Szczepan Twardoch, uscito il 24 febbraio di quest’anno (data non casuale) per Sellerio e l’anno scorso nell’originale polacco. Dall’inizio dell’invasione di terra dell’esercito russo in Ucraina, l’autore ha intrapreso una serie di viaggi oltre confine con lo scopo di portare rifornimenti e aiuti, militari e civili; la lunga e continua frequentazione dell’ambiente gli ha permesso di raccogliere storie e vicende legate alle minuzie quotidiane del conflitto, che ha poi rielaborato in forma di romanzo. La linea zero è un libro brutale, ma con una forma di ricercatezza letteraria che salta all’occhio: si focalizza su chi la guerra non l’ha scelta come mestiere né come vocazione, e che la attraversa con il corpo che ha, con il suo portato di freddo, fame, attesa, paura, piccole fedeltà, qualche viltà e qualche coraggio imprevisto. Il gioco di rimandi con l’Ernest Hemingway di Per chi suona la campana è peraltro esplicito; così come riecheggia, stavolta non nominata, l’esperienza da cui George Orwell ha tratto Omaggio alla Catalogna, in cui il protagonista fa parte delle brigate internazionali nella Guerra di Spagna; e un’analoga sorte tocca alla voce narrante — o meglio, all’interlocutore principale — del libro di Twardoch, un quarantenne soprannominato Cavallo, polacco della Slesia come Twardoch, che nella vita “di ieri” (rubo il senso dell’espressione a Stefan Zweig) aveva una formazione come storico e che ora è volontario nell’esercito ucraino, prima come pilota di droni e poi, per sua scelta, in fanteria, bloccato al di là del fiume Dnipro in attesa degli eventi.

Anche Hemingway fu corrispondente di guerra in Spagna, e partecipò alla causa repubblicana soprattutto attraverso il giornalismo e la produzione culturale, andando con ciò a costruire una rappresentazione tragica dell'esperienza umana nella guerra, permettendosi di esplorare situazioni morali senza ridurle a una tesi politica. Il suo Robert Jordan, come Cavallo, è una finzione letteraria, e come Cavallo viene investito della responsabilità di interrogarsi su come conciliare la fedeltà alla causa repubblicana con gli errori, le brutalità e le contraddizioni del campo antifascista. Eppure, permane l’idea che nessun essere umano sia isolato dal destino degli altri, e soprattutto la contezza di rivendicare la necessità dell’impegno, e la giustezza della causa, lì come qui.

Dal punto di vista della cronaca sul campo ci sono altri e più antichi riferimenti che vengono in mente, stavolta dal lato russo: intanto Isaak Babel, inviato come cronista durante la guerra russo-polacca del 1920, da cui trasse i racconti dell’Armata a cavallo, toccò parimenti il compito di raccontare e di inventarsi un protagonista, Ljutov, che gli somiglia parecchio: un ebreo intellettuale con gli occhiali, circondato da cosacchi che lo guardano con sospetto, e che come rito di iniziazione alla violenza che coincide con l’ingresso nel gruppo uccide un’oca di una vecchia padrona di casa. La sopraffazione entra in scena così, nella banalità del quotidiano, e si fa strada nella prosa ornata e lirica di Babel’ e al tempo stesso, senza condanna né apologia, registra saccheggi, uccisioni e violenze. I “suoi” cosacchi non sono eroi epici; sono uomini comuni armati, capaci di bellezza e di ferocia insieme. Babel’, per la cronaca, fu arrestato nel 1939 e fucilato nel 1940.

Altro classico, il Vasilij Grossman coi suoi taccuini di guerra, corrispondente della Krasnaja zvezda per cui seguì la battaglia di Stalingrado (a proposito: consiglio la lettura parallela di Stalingrado e Vita e destino, da un lato, e de Il sergente nella neve di Rigoni Stern e di Centomila gavette di ghiaccio di Bedeschi, con diverse prospettive, dall’altro) e arrivò fino a Berlino. Registra tutto, il suo orecchio da scrittore: i dialoghi, le abitudini, la fatica, ma anche le contraddizioni di un sistema che chiama i soldati eroi e li tratta come materiale sacrificabile. E annota, nei suoi taccuini privati, tutto ciò che la censura non gli permette di pubblicare (per l’appunto: il romanzo più noto di Grossman, Vita e destino, fu fatto uscire di nascosto dall’Unione Sovietica e il suo autore morì nel 1964 di cancro allo stomaco senza mai sapere che l’opera era stata tratta in salvo).

L’inviato di guerra può assurgere a figura letteraria a sé stante, pensiamo a Kapuściński che racconta la guerra in Angola del 1975, in cui il reporter resta a Luanda mentre tutti se ne vanno, e la paura quotidiana, l’attesa e la banalità dei gesti prendono il posto dell’epica; tant’è che si scivola nel periglioso dibattito su quanto possa essere labile il confine tra reportage e invenzione.

Torniamo alle esperienze di brigate internazionali. Orwell arriva a Barcellona alla fine del 1936 e si arruola nella milizia del POUM, che lo manda sul fronte d’Aragona. Il racconto che ne ricavo dalla memoria è questo: le prime settimane al fronte sono fatte di freddo, pidocchi, fucili inservibili, noia e pochissimo combattimento. Orwell è un duplice testimone: della guerra contro Franco, innanzitutto, e di quella interna fra l’anima comunista e quella marxista antistalinista dei combattenti per la repubblica. Il conflitto tra l’aspirazione emancipatrice della rivoluzione e i meccanismi di potere che finiscono per soffocarla richiama, oltre che i lavori dell’Orwell successivo, l’esperienza che Victor Serge raccolse nelle Memorie di un rivoluzionario. Orwell racconta la propria esperienza nella guerra civile spagnola e assiste alla repressione delle forze rivoluzionarie da parte del fronte repubblicano dominato sempre più dall'influenza sovietica. Serge ricostruisce invece un’esperienza assai più lunga, che parte dall’anarchismo e dalla rivoluzione russa alla militanza bolscevica, fino alla persecuzione staliniana e alla propria espulsione dall’URSS. Orwell non ha alle spalle una lunga appartenenza al movimento comunista internazionale: arriva in Spagna con convinzioni socialiste e le sottopone alla prova dell’esperienza (ne uscirà con 1984 e con La fattoria degli animali, come sappiamo). Serge, al contrario, deve fare i conti con una contraddizione che lo riguarda direttamente, e che riguarda la possibilità, per un rivoluzionario che ancora ci crede, che ancora spera e ha fede in un modello di collettività, di continuare a difendere gli esiti della rivoluzione dopo aver visto un regime nato in suo nome distruggere la libertà e perseguitare i suoi stessi compagni. Lì dove Orwell mette in scena soprattutto la perdita di una possibilità intravista, Serge racconta la lunga degenerazione di una possibilità alla quale aveva dedicato la propria esistenza, ed entrambi sbattono sulla domanda più feroce di tutte, cioè fin dove sia possibile tollerare la menzogna.

Il combattente nel romanzo autobiografico di Orwell è un volontario straniero con un’idea semplice di ciò che è giusto, mosso da un sentimento che potremmo chiamare di ordinaria decenza umana; lo stesso sentimento che attraversa i gesti di Cavallo in La linea zero, perennemente immerso nell’attesa dei rifornimenti, del nemico, della possibilità di diventare duecentesimo o trecentesimo, vale a dire morto o ferito, che sono gli unici esiti ritenuti possibili per uscire dalla condizione di guerra. Eppure parla, racconta, si aggrappa a qualche stralcio dell’uomo che è stato prima, rielabora la propria identità; la fiducia nei grandi gesti è minima, e permangono i piccoli atti che nessuno si aspetta, le miserie e le gentilezze, le banalità e le profondità. E la guerra tutto intorno, e dentro.

La mancanza di retorica è pervasiva, e mi si passi l’immagine forse paradossale. Ricorda, per certi aspetti, l’atmosfera de I piccoli maestri, scritto da Luigi Meneghello nel 1964 sulla propria esperienza come partigiano nel vicentino e che porta con sé l’agio della sedimentazione storica di due decenni di rielaborazione e studio, che rendono il libro un testo al contempo di immediata fruibilità narrativa e di ragionata limpidezza. La vicenda è nota (e se non avete letto il libro, fatelo): un gruppo di giovani intellettuali veneti, studenti e di formazione azionista, entra nella Resistenza armata sull’Altopiano di Asiago. La loro lingua è un impasto di italiano e di dialetto, la loro vita — scaraventata in una dimensione affatto nuova, da inventare di continuo, in cui si percepisce comunque la grandezza tragica della posta in gioco — continua a essere permeata da un’ironia civile. I partigiani di Meneghello sbagliano, si perdono, sono maldestri, ridono, hanno paura; i rastrellamenti e la morte dei compagni arrivano dentro questo registro comico e lo spezzano, e il dolore pesa di più proprio perché nessuno lo ha preannunciato con toni solenni.

Si torna ancora all’Ucraina, anche nel senso di confine su cui si giocano gli assetti interni ed esterni dell’Europa che verrà, con La gente normale non va in giro armata di Artem Chapeye, opera biografica di un altro quarantenne, parimenti colto e concettualmente estraneo ai miti di guerra, stavolta ucraino; un intellettuale, pacifista, femminista, marito, padre di due figli che ama moltissimo. Conscio che la sorte del suo paese dopo il 24 febbraio 2022 è quello di finire come la Bielorussia se va bene e come la Cecenia se va male (cosa di cui nel resto d’Europa talora ci si dimentica), si arruola volontario e da allora combatte; e, contemporaneamente, cerca di mantenere integra una parte della persona che era prima. Tragedia e cronaca di resistenza di un individuo che deve decidere in condizioni di conoscenza incompleta; non può aspettare una certezza assoluta, né può delegare interamente il giudizio a un comando militare o a una narrazione ufficiale; né, tantomeno, può perdere sé stesso. È un uomo terribilmente come noi, Chapeye: con la stessa voce nostra quando racconta il rapporto a distanza con la famiglia e il disorientamento di chi si ritrova a impugnare un’arma pur non essendo nato per farlo, o quando si domanda come conciliare le idee di una vita, il pacifismo, il rifiuto del nazionalismo, con la necessità che continui a esistere una vita in grado di pensare quelle idee, e quindi con la necessità di resistere a un’invasione straniera il cui obiettivo è annichilire l’identità della popolazione invasa. Fortunati noi che non siamo costretti a prendere decisioni morali in condizioni estreme, senza certezze e senza la possibilità di sottrarsi alle conseguenze; fortunati noi che possiamo continuare a fare comune letteratura.

Ma la letteratura non redime alcunché; al più ci restituisce una rappresentazione della guerra nelle sue sproporzioni, nel modo in cui schiaccia le vite e tuttavia non cancella del tutto la possibilità di giudicare, parlare, avere paura, o di compiere un gesto gratuito nella sua gentilezza o nella sua crudeltà. La letteratura non può portare indietro i morti né sciogliere le contraddizioni di chi resta; può sottrarre le persone alla lingua impersonale con cui la storia tende a consumarle, e lasciarci in pasto ad altre domande irrisolte.

Grazie per aver letto questa puntata dell’Archivio del comodino. Sillabe ritorna martedì con le Cronache metriche del dopo per gli abbonati, mercoledì con Codici e versi per tutti e venerdì, al solito, con la poesia e la scienza. I prossimi libri, invece, la prima domenica di dicembre.

A presto!

Come al solito, essendo questa una puntata del venerdì, spulciamo parti di Teoria dei canti, poema in terzine sulla materia, sul numero e sulla parola, il che è un modo pomposo e aulico per dire che ci sono argomenti di fisica, matematica e linguaggio, divisi per cantica. Se volete tutto il libro, che è un oggetto poderoso, potete recuperarlo

qui in cartaceo
e qui in ebook.

Sillabe è una newsletter composita, in cui succedono anche un sacco di altre cose. Il mercoledì, di questa stagione (andremo avanti fino alla fine dell’anno), esce Codici e versi, vale a dire delle lunghe riflessioni su ciò che pertiene alla poesia umana in un’epoca in cui si fa sempre più pressante il ruolo dei testi generati dalle macchine. Le puntate di Codici e versi sono nell’apposita sezione, trovate il menu là in alto. La prima domenica del mese, poi, esce Archivio del comodino, in cui si parla di libri.

Sillabe è un progetto sostanzialmente gratuito, ma ciò non vuol dire che non mi costi tempo e fatica, per cui è possibile sostenerlo con un (parco e modesto) abbonamento. In tal caso, avrete accesso integrale a tre ulteriori rubriche: una volta al mese i racconti di scienza e fantascienza in endecasillabi di Cronache metriche del dopo e gli articoli scientifico-letterari di Il verso delle cose, e nei mesi pari la miscellanea di Note in controtempo.

Cominciamo con la puntata di oggi, che riprende il filo di quella di venerdì scorso. Sarà una puntata lunga, perché c’è tanto da dire. Stavamo parlando di geometria piana. Il tema di oggi è duplice: prima parleremo di come tassellare gradevolmente il piano, e poi faremo una breve carrellata storica di tutte le volte in cui la geometria ci è piaciuta così tanto da ritenere che i suoi metodi si potessero esportare anche altrove.

Teoria dei canti

Una tassellazione (o pavimentazione) del piano è un ricoprimento del piano mediante figure, dette tessere, che non si sovrappongono e non lasciano lacune. Sembrerebbe una faccenda artigianale senza troppe ricadute teoriche, ma in realtà la matematica che ci sta dietro è ricchissima, e non scevra di sorprese anche recenti. Innanzitutto, possiamo scegliere il tipo di tessere e come disporle: se le vogliamo tutte con la stessa forma, se ogni lato di una tessera deve coincidere pari-pari con un lato di un altro o se è possibile metterle sfalsate, se utilizziamo poligoni regolari, se richiediamo che sia periodica, cioè che esista una traslazione non banale in due direzioni indipendenti che la lascia invariata; una insieme di tessere può essere addirittura aperiodico, quando è possibile usarlo per tassellare un piano ma nessuna delle composizioni permesse è periodica.

Una delle prime cose che si scoprono è che, se volgiamo pavimentare il piano usando solo poligoni regolari di un solo tipo, possiamo farlo solo in tre modi: coi triangoli equilateri, coi quadrati e con gli esagoni regolari. La ragione matematica è questa: se in un vertice concorrono k poligoni regolari con n lati, ciascun angolo interno misura (n − 2)·180°/n, e perché non vi siano lacune né sovrapposizioni deve valere k · (n − 2)·180°/n = 360°. Semplificando si ottiene (n−2)(k−2) = 4. Le sole soluzioni intere con n, k ≥ 3 sono (n, k) = (3, 6), (4, 4), (6, 3): per l’appunto, il triangolo equilatero con sei tessere per vertice, il quadrato con quattro, l’esagono con tre. Quest’ultima cosa la sanno anche le api, in effetti, che nel corso dell’evoluzione hanno appreso a modo loro delle cognizioni sull’ottimizzazione (e senza dover imparare le derivate): la partizione del piano in regioni di uguale area con perimetro totale minimo è quella esagonale. Così risparmiano cera. Noi, che non siamo api, la chiamiamo congettura del favo e, pur avendola sempre ritenuta vera, l’abbiamo dimostrata in maniera rigorosa e formale (in quello che è diventato il teorema del favo) solo alla fine del XX secolo; o meglio, l’ha fatto il matematico Thomas Hales.

Visto che non siamo api e che ci può interessare decorare l’Alhambra, invece, possiamo ammettere poligoni regolari di più tipi in modo da ottenere una varietà più ampia di tassellazioni. Il modo più conveniente di descriverle è la notazione dei vertici, che elenca in ordine ciclico il numero di lati dei poligoni attorno a un vertice: 4.8.8 indica un quadrato e due ottagoni; 3.6.3.6 indica un triangolo, un esagono, un triangolo, un esagono. Eccetera. Molte combinazioni chiudono i 360° in un vertice ma non si estendono a tutto il piano: 3.7.42, 3.8.24, 3.9.18, 3.10.15, 4.5.20 e 5.5.10 sono i casi «sporadici» in cui un vertice si chiude ma nulla di più. Le rimanenti danno otto tassellazioni semiregolari, che con le tre regolari formano le undici tassellazioni uniformi o archimedee. Possiamo allentare ulteriormente i vincoli, chiedendo che i vertici appartengano a k classi di equivalenza rispetto alle simmetrie della tassellazione: si parla allora di tassellazioni k-uniformi. Ne esistono 20 per k = 2, 61 per k = 3 e 151 per k = 4, e il loro elenco è stato ottenuto con metodi combinatori (sì, si usa il computer per fare i calcoli).

“Poligoni da gruppi generati
sui volti dell’interna isometria, 27

e ciclici e diedrali nominati,
si spargono a rilento tutt’intorno
al crescere del numero dei lati; 30

ne seguo lo smussarsi del contorno
e il loro farsi concavi o convessi;
il piano si ricopre, tutto adorno 33

del loro combinarsi; a sé compressi
si vogliono soltanto, regolari,
triangoli e quadrati; son permessi 36

anche gli esagoni. Questi scenari
son detti, qui tra noi, tassellazioni.”
E tace un po’, qual fanno i solitari 39

intenti a ragionar senz’emozioni,
di contro a sé pur giovani e già vecchi;
e poi riprende a dir di riflessioni 42

che usano voler tra sé gli specchi,
e Coxeter m’appare di rincalzo:
ché gli occhi, che credevo vuoti e secchi 45

si aprono di nuovo. Mi rialzo
nel mondo fatto spesso, nel consueto,
profondità m’occorre ad ogni sbalzo, 48

lei che finora restava in segreto;
è tempo di poliedri e di perfette
finite isometrie: nel completo 51

lo spazio può e ne conta solo sette.

Possiamo abbandonare le pretese di regolarità, e chiederci qualcosa di leggermente diverso: quali poligoni, presi da soli e in più copie congruenti, tassellano il piano? Con i triangoli e i quadrilateri non ci sono grossi problemi: ogni triangolo tassella il piano, e basta prenderne due copie uguali, ruotare un triangolo per farci un parallelogramma e traslare a piacimento il parallelogramma risultante. Analogo coi quadrilateri, anche non convessi: si ruota di 180°attorno al punto medio di ciascun lato, e la somma degli angoli interni (360°) garantisce che i quattro angoli si ricompongano in un vertice senza lacune. Ci sono anche tre famiglie di esagoni che tassellano il piano. Coi pentagoni è più difficile. Se è impossibile pavimentare il piano usando solo pentagoni regolari, sappiamo però che esistono quindici famiglie di pentagoni convessi che sono adatti allo scopo. L’ultima è stata scoperta nel 2015 (da Mann, McLoud-Mann e Von Derau) e nel 2017 Michaël Rao ha annunciato, con una dimostrazione assistita da calcolatore, che non ne esistono altre. Da sette lati in su non c’è niente da fare: la dimostrazione sfrutta la formula di Eulero che abbiamo introdotto la settimana scorsa e si basa sul fatto che una tassellazione periodica si può leggere come un grafo sul toro, per il quale V − S + F = 0. In ogni vertice concorrono almeno tre lati, dunque 2S ≥ 3V; combinando le due relazioni si ottiene 2S/F ≤ 6. Il primo membro è il numero medio di lati per tessera. Una tassellazione da lato a lato con tessere congruenti convesse non può dunque avere tessere con più di sei lati, e sei è possibile solo se in ogni vertice concorrono esattamente tre tessere. Il valore medio 6 è lo stesso numero che emerge dalla struttura esagonale del favo: il caso ottimale è anche quello limite.

Le tassellazioni del piano, oltre a essere belle da vedere, hanno anche un legame profondo con il concetto di simmetria. Il modo migliore di considerarle è infatti studiare le isometrie del piano (traslazioni, rotazioni, riflessioni, combinazioni di queste operazioni) che ne lasciano invariata la simmetria formano un gruppo, che è un oggetto matematico opportunamente studiato con metodi algebrici. Esistono diciassette gruppi del piano, cioè gruppi che contengono traslazioni in due direzioni indipendenti. Anche se non siete esperti di matematica avrete sicuramente visto qualcuno dei lavori di Escher in cui vengono sfruttate.

Tassellando tassellando, le cose possono farsi via via più strane. Fino agli anni Sessanta si supponeva che un insieme finito di tessere capace di ricoprire il piano dovesse poterlo fare anche in modo periodico. Nel 1961 il logico Hao Wang studiò il problema con un tipo particolare di tessere quadrate i cui lati sono colorati, dette oggi tessere di Wang, da accostare in modo che i lati adiacenti abbiano lo stesso colore, senza ruotarle. Ipotizzò che, se un insieme di tessere di Wang tassella il piano, allora deve fare in maniera periodica. Se la congettura fosse vera, esisterebbe un algoritmo che decide, dato un insieme, se esso tassella: basterebbe cercare tassellazioni periodiche. Nel 1966 Robert Berger dimostrò che la congettura è falsa, esibendo un insieme aperiodico; e anzi provò di più: il cosiddetto problema del domino è indecidibile, nel senso che non esiste alcun algoritmo che stabilisca in generale se un insieme di tessere di Wang tassella il piano. Uno parte con l’idea di rifare il pavimento del bagno e si ritrova in un problema di informatica teorica. Ma si può?

Le cose comunque sono andate avanti: Penrose negli anni Settanta tirò fuori dal cilindro delle tassellazioni non periodiche ma …quasi, con due sole tessere; sono tassellazioni non disordinate, e vi si riconoscono configurazioni con simmetria di ordine cinque e dieci. Nel 2023 è stato infine provato che è possibile costruire una tassellazione non periodica del piano usando una sola tessera: lo si fa con un apposito poligono di tredici lati.

Veniamo al secondo argomento di oggi. Come s’è visto, succede che partendo da considerazioni geometriche apparentemente banali si finisca col fare matematica di tutt’altra natura, e di infilarci perfino nel problema dell’arresto per le macchine di Turing.

Non è un caso isolato: quando uno strumento cognitivo funziona in un ambito, si tenta sempre di estrapolarlo e di utilizzarlo in altri contesti. Il metodo geometrico, in particolare, ha avuto tentativi di applicazione nell’etica e nelle scienze politiche.

Da questi primi passi si decise
di fare il mondo adatto al piano metro,
sempre con mosse solenni e precise: 102

e tutto calcolando venne dietro
così che render simile si volle
all’arte ch’è geometrica quel tetro 105

sistema che costringe in crude folle
a farsi l’uomo lupo del compagno;
o l’etica, da Dio fino alla molle 108

passione degli umani, ch’è guadagno
d’un metodo assiomatico e sì certo
che non può vacillar o far ristagno. 111

Quello fu Hobbes; e l’altro, s’è scoperto,
Spinoza, che vuol Dio come Natura,
e tal mi basta a mettermi sconcerto. 114

La geometria, fin dalla sua canonizzazione ai tempi di Euclide, significa un metodo fatto di definizioni, assiomi, postulati, proposizioni, dimostrazioni, corollari, scolii, ciascun elemento giustificato soltanto da quelli che lo precedono. È considerato l’ideale di un sapere necessario e universale, in cui la certezza dei principi si trasmette alle conclusioni per via deduttiva, senza perdite e senza appello all’autorità o all’esperienza. L’occasione di esportarlo altrove è troppo ghiotta, e infatti non ce la si fa scappare. Prendiamo Proclo, che organizza i suoi Elementi di teologia come una serie di proposizioni dimostrate, o Boezio che apre il De hebdomadibus con un elenco di assiomi, le «comuni concezioni dell’animo». Dal Seicento, si aggiunge a queste tendenze già presenti la convinzione, nuova, che questo ordine non sia soltanto un modo di esporre un sapere già acquisito, ma lo strumento per fondarne uno che ancora non esiste con la stessa certezza della matematica. E allora ecco Descartes che si butta sulla metafisica; ma, soprattutto, ecco Hobbes, che di matematica qualcosa masticava (meno di Descartes, ed era comunque permeabile a una serie di grossolani strafalcioni sulla quadratura del cerchio) e che dal rigore delle dimostrazioni geometriche si convinse che ragionare è calcolare: la verità, scrivel, consiste nel corretto ordinamento dei nomi nelle affermazioni; chi cerca la verità precisa deve ricordare che cosa ogni nome significa, o si troverà impigliato nelle parole come un uccello nel vischio. Per questo i geometri cominciano fissando il significato delle parole, e chiamano definizioni queste fissazioni. L’idea di Hobbes è che per conoscere un composto lo si scompone nei suoi elementi e se ne ricostruisce la generazione: per cui si impara a conoscere lo Stato smontandolo come il meccanismo di un orologio. Volete un’analogia? Pronti: la geometria è dimostrabile perché le linee e le figure le tracciamo noi; la filosofia civile è dimostrabile perché lo Stato lo facciamo noi. A seguire, una catena di teoremi. Dalla definizione del diritto naturale come libertà di usare il proprio potere per la propria conservazione, e dalla constatazione dell’uguaglianza approssimativa degli uomini, discende la guerra di tutti contro tutti; dalla ragione che prescrive la ricerca della pace discendono le leggi di natura, come cercare la pace, rinunciare al proprio diritto se altri fanno altrettanto, rispettare i patti; dall’impossibilità di far rispettare i patti senza una spada discende la necessità di un sovrano.

La geometria, col suo metodo, garbava parecchio anche a Spinoza: La sua Ethica consta di cinque parti, ciascuna articolata in definizioni, assiomi e postulati, in proposizioni dimostrate mediante i soli enunciati precedenti, con corollari, lemmi e scolii. La geometria si adatta all’etica perché l’ordine e la connessione delle idee sono lo stesso ordine e la stessa connessione delle cose.

Troviamo traccia di queste tendenze anche dopo: per esempio, nel positivismo giuridico ottocentesco il diritto è un sistema di concetti che la scienza giuridica ricava dalle norme positive e ordina gerarchicamente. In tal modo, da concetti più generali si deducono, per sussunzione, concetti più particolari, e il giudizio è l’applicazione di una regola al caso come in un calcolo.
Un’eredità più recente la troviamo anche nel diritto computazionale (sarebbe piaciuto tanto a Leibniz), con la sua formalizzazione di leggi e regolamenti in linguaggi eseguibili. L’applicazione richiede la restrizione degli ambiti di validità, perché appena una regola esce dai casi chiari ed entra nella penombra, la decisione richiede un giudizio che nessuna formalizzazione preventiva esaurisce.

Il discorso ci porterebbe troppo oltre i limiti di questa puntata, pertanto ci fermiamo qui. Resta il filo conduttore per cui il metodo geometrico, nel suo uso migliore, non è una macchina che produce certezza, ma quantomeno una disciplina che rende più difficile giudicare prima di aver capito ciò di cui stiamo parlando.

Questa settimana il sonetto conclusivo sarà sostituito da una poesia “a tassellazione irregolare” che ho scritto nel 2023, alla notizia della scoperta che il piano poteva essere irregolarmente pavimentato con una sola tessera. La struttura metrica, che si compone di endecasillabi e settenari, è ABc ACb BAc BCa CBa CAb.

Ho preso tra le mani una figura
tagliata lungo i bordi, irregolare,
per ricoprire il piano;

l’ho presa, lo confesso, con paura
d’andare avanti a caso, forse invano,
senza saper che fare.

Ma poi ho cominciato a tassellare:
con infinita pazienza, con cura,
da quel singolo grano,

in modi che nemmeno puoi contare;
e ne scoprivo un mondo vario e strano,
d’insolita struttura.

Per quanto volga lo sguardo lontano,
non vedo simmetria nel trasportare
orizzontale e pura

la forma primigenia dell’arcano:
periodica non fu, eppure dura
ovunque voglia andare.

Ci ritroviamo venerdì prossimo, sempre per parlare di geometria.

Grazie per aver letto Sillabe, e a presto!

For a presentation of the work, I refer you to the section with the same name, which you can find on the homepage of Sillabe.

Furthermore, the theme of ambiguity seemed so fruitful to me that it prompted me to write a new series of reflections, building on what you are reading in Codici e versi. The series, which will be called Leaving Words Open – Poetry and Machines Facing Ambiguity, should be released in 2027, at a leisurely pace (allowing me time to work on it: I’m not a machine 🥵).

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6. The resources of ambiguity.

We find reflections in nature and in words, and it is not difficult to find references of one in the other. In some authors, this is particularly evident: Joseph Conrad, for example, teaches us that living by the sea changes the way we perceive time, space, risk, and even language, and that maritime knowledge cannot be completely formalized; Calvino’s Palomar continuously tries to observe the world by eliminating arbitrary interpretations; Thoreau uses natural elements as tools to challenge social and temporal categories; it also works with artificial environments for which we cannot create a completely accurate map, as Kafka reminds us, who, despite everything, never manages to transform bureaucracy into a comprehensive body of knowledge. We know more than we can tell, Michael Polanyi would add, reiterating that a constitutive part of what we know is inseparable from the practical, bodily, and perceptual modes through which we know, and that experience, rather than adding information, is an activity that changes the way we pay attention to things. And, in doing so, we continue to imitate nature, to derive coherent discourses from it, to implement systems of formalization that guarantee us a minimum of orientation. Yet, we still sometimes get lost, encounter sudden ambiguities, and we are not diminished by it. The basic idea that a truth exists, that the human mind can actually participate in it, and that this participation is nevertheless mediated by symbols and never total, was happily expressed by Paul of Tarsus in the First Letter to the Corinthians (1 Cor, 13:12) by saying that now we see through a glass, darkly; and immediately afterwards, that when we have participated in the divine revelation, then shall we see face to face. Earthly knowledge is transient, and only charity endures, says Paul. Since we must be content with more accessible and guaranteed earthly experiences, let us focus on the metaphor. In Paul’s time, mirrors were made of polished bronze (or silver) plates: the image they reflected was real, but also inevitably blurred, distorted, and dependent on the angle of incidence of the light, so that—translating to the general case beyond visual images—every knowledge carries with it an inevitable component of imperfection. Reality can be glimpsed, but never fully possessed. Supporting the thesis is also the choice of the word, enigma, which describes a form of language that reveals its contents precisely through concealment.

Paolo’s reflections had a significant philosophical and theological impact, influencing both biblical studies and the general theory of knowledge: the limits of reason, will, and representation; interpretations that must be placed within a historical and linguistic context; receptions mediated by symbols; the underdetermination of theoretical models; statistical analyses of human language. Time and again, we find ourselves confronted with ambiguity, not as a simple case of polysemy, but as an excess of meaning in relation to a description: each time we represent something, we leave out parts of it, introduce other parts, and distort some of what remains.

As we have seen in the previous chapters, to represent something always means to interpret it, and there is no description that is without perspective: it inevitably includes processes of selection and organization and, ultimately, of judgment.

The resulting ambiguity is a sign of the distance that separates the world from the ways in which we make it intelligible. Let’s take poetry and look at it from an Aristotelian point of view: the poet shows what could happen according to necessity or probability, and his work is therefore more philosophical than a chronicle because it captures general structures of experience. If the work does not have to faithfully reproduce reality, then it can condense multiple meanings, and ambiguity becomes the consequence of the search for the universal through the particular. And it does so—here we open ourselves to contemporary perspectives, indebted to the theory of the open work—through a dynamic process of interpretation, which thrives on the balance between what it makes explicit and what it leaves implicit. Words do not merely reflect the world, but articulate and classify it; in doing so, they highlight some relationships and conceal others. Even before being a tool of communication, language is a device for constructing a shared reality.

When we speak, we entrust an experience to a system of signs that is equally finite, shared, and conventional. The sign does not coincide with the thing because, as Saussure would say, the meaning of a word depends on the position it occupies within the entire linguistic system, or, to follow Wittgenstein, on the use that a community makes of it. It is here that ambiguity arises: if the meaning depends on the relationships between the signs, it can never be completely stable. It is also here that metaphors find their place.

We are in the hands of the Oracle of Delphi, which hints at its answers, leaving them to our interpretation, while demanding that we know ourselves. Now we can move in two directions. The first, which we examined in the previous chapters, is to remove as much ambiguity as possible and to formalize language to the extent that it can be organized as a calculation and to the extent that we can produce, in a Cartesian manner, clear and distinct ideas. And we can… define vagueness and ambiguity within the context of a theory that places them within the very architecture of thought, of the sign, and, shortly, of reality. First, it is necessary to clearly distinguish between two phenomena that common sense tends to confuse under the generic label of “indeterminacy.” At the beginning of the 20th century, Charles Peirce argued that a sign is vague when it leaves it undetermined whether the principle of non-contradiction should apply to a certain case: in the face of a borderline instance, it is not determined whether the predicate applies or does not apply, and this indeterminacy cannot be resolved by asking further questions of the speaker, because the speaker himself does not have, in his linguistic habits, a ready-made answer; a sign, on the other hand, is general when it leaves it undetermined, within certain limits, to which principle of excess the principle of the excluded middle applies: saying “a man greeted me” does not specify which man, but this indeterminacy is, in principle, resolvable. It should be noted that this conception has not been without criticism. Contemporary literature on vagueness has observed that treating the uncertainty of borderline cases as “intrinsic” rather than as the result of a missed clarification risks “freezing” a phenomenon that could instead remain fluid and contextual: Peirce’s lexical choice anticipates, and in part critically foreshadows, the entire 20th-century debate between epistemic, semantic, and supervaluationist readings of vagueness. Let us illustrate them for now with the following consideration, which comes from Achille Varzi: many expressions with which we populate our “catalog of the world” do not have precise spatio-temporal boundaries. Is this imprecision a fact of language (vagueness de dicto) or a fact of the world itself (vagueness de re)? In short, when we speak and when we write, do we have at our disposal a precise catalog full of vague entities, or a vague catalog full of precise entities? These are questions on which we have built paradoxes: how many parts can we replace in the ship of Theseus? How many pebbles is it permissible to remove from the pile before we say that what we have in front of us is no longer a pile? The problem is not only epistemological, because classical logic presupposes precise predicates, and vagueness generates a real contradiction between our intuitions and the elementary principles of deductive inference. So let us start to quibble, as good logicians would: an utterance with vague terms is true if it turns out to be true under every admissible way of making its terms precise, false if it is so under each one, and without a truth value when the clarifications diverge. And in this way, we should be able to contain the paradoxes.

These are undoubtedly interesting speculations, but in the meantime, how should we behave? Let’s try to follow Peirce: to gain clarity about a concept, we need to consider what conceivable practical effects its object might have, and our conception of these effects constitutes the entire content of our conception of the object. If two philosophical theses, however formulated in seemingly incompatible terms, do not imply any difference in conceivable practical consequences, then the dispute between them is empty. The ambiguity they bring us should be resolved through analysis, not preserved as semantic richness.

If we stay within the realm of natural language, we can then choose to adopt a strategy like that of Paul Grice. Let’s ask ourselves: how is it possible that the literal meaning of an utterance is systematically different from, and often poorer than, what a speaker actually communicates by uttering it? The distance between these two levels, it should be noted, is the ordinary functioning of communication. And yet, or precisely for this reason, conversation is a cooperative effort. Let’s try to follow a few simple rules so as not to ruin everything and keep ambiguity within manageable limits: let’s say neither more nor less than required, let’s try to tell the truth, in the sense of what we have adequate evidence for, and let’s try to be relevant, brief, and orderly. And let’s hope for the best! With these rational conditions of effectiveness, we have at least established the normative premise with respect to which every deviation becomes significant. In reality, the maxims are not respected literally in every single utterance: and yet communication does not fail because, when a speaker violates (apparently) a maxim, the listener is prompted to seek an additional interpretation that makes the utterance cooperative again.

Or, let’s take a different approach: let’s abandon the reservations and modesty of adulthood, and let’s become poets.

Here, an example from Persian poetry and the aesthetics it developed comes to our aid. The *īhām*, a term rendered in Italian as “amphibology” or “intentional ambiguity,” consists of the use of a term that has at least two plausible meanings in the context, leaving the reader free, and indeed compelled, to perceive both simultaneously without being able to separate them into a single, unambiguous reading. Of the two meanings, one is immediate and the other more remote, often enigmatic or allusive. In the *ghazal* of Ḥāfeẓ-e Shīrāzī, a fundamental poet of the 14th century, we indeed find the possibility of a purely worldly reading, which uses names that refer to alcoholic intoxication and conviviality (such as *sāqī*, cupbearer, or *mey*, wine), and simultaneously a mystical reading linked to Sufism, in which wine is the intoxication of union with the divine and the cupbearer is the figure of grace that dispenses it, just as the torment of love is the longing of the soul separated from its divine principle. And all this happens, it should be noted, without the text providing any textual criterion for deciding which of the two readings is the “true” one.

The semantic ambiguity employed here has sometimes been interpreted by critics as a device of caution in a context of religious censorship; but its systematic persistence, its technical elaboration within the rhetorical tradition, and above all the aesthetic pleasure that its simultaneous presence produces in the competent reader suggest rather that the *īhām* constitutes, for Persian aesthetics, an autonomous positive value, a certification of the superiority of the discourse that alludes over the discourse that declares. The author speaks to the reader by tacitly referring to a series of interpretive codes known to both, and through which the two poles of communication play at hiding and finding each other.

There will also be an opportunity for Persian poetry to later find a fruitful comparison with Indian aesthetics and with the dhvani that had been independently theorized there. Between the 16th and 18th centuries, under the Mughals, Persian poetry flourished in a linguistic and cultural environment in close contact with Sanskrit and Indian vernacular literary traditions, giving rise to the so-called sabk-e hindī, the Indian style. This was a form of Persian poetry characterized by extreme metaphorical density, complex conceptual images, and a systematic and almost hypertrophic use of polysemic ambiguity.

Let’s return to the more strictly philosophical quandaries. In the meantime, between one metaphor and another allusion, we continue to communicate within a social context that is defined at each moment, and which in turn defines what we are and the possibilities of what we can say and understand. If we consider ambiguity not only as a property of an utterance, but as an epistemological condition of representation, we must hypothesize (Francis Bacon would do so, and we with him, because we have internalized his scientific principles) that cognitive error, from which ambiguity can derive, often arises from the fact that something presents itself as determined and intelligible when, in fact, it is distorted by the structures through which we perceive, name, and interpret it; and we must also hypothesize that these structures depend both on the properties of words and on those of the anthropological perspective in which they are uttered. First of all, the human mind tends to find more order, regularity, symmetry, and purpose than actually exist in nature. The mind projects its own forms onto things, subjecting them to what Bacon calls idola tribus, whereby the data does not necessarily contain a single reading, and the one who interprets it introduces a structure that selects one of the many possible readings. Since each of us has shaped our own identity through education, habits, experiences, and inclinations, the same reality can therefore be articulated differently depending on the environmental and ideological substrate through which it is filtered: ambiguity emerges from the interaction between object, subject, and interpretive scheme. Bacon would speak of idola specus; we will see shortly that identity, as far as the generation of ambiguity is concerned, is an even more slippery problem than it seems at first glance. The other two sources of ambiguity (idola theatri and fori respectively, still following Baconian terminology) concern the relationship between internal coherence and truth and the fact that words impose distinctions on things that may not correspond to their actual structure: in this latter aspect, linguistic ambiguity can lead us to mistake our organization of the world for the world itself. If many, from Locke to Wittgenstein, will ask how much of the structure of the world belongs to the things themselves and how much to the linguistic categories through which we describe them. It is known that the idola were, for Bacon, a problem to be overcome. We now know, however, that noise is unavoidable in any form of communication; in fact, it is one of the conditions through which a reality becomes readable. If we treat ambiguity not as what remains when information is insufficient, but as the space of possibilities that precedes the choice of an interpretation, we can, for example, consider generative language models as devices that map the multiplicity of interpretations already sedimented in human language and forget about the problems inherent in the production of their own ambiguities.

We had left the issue of identity, and the ambiguities it entails, unresolved. Let’s revisit it immediately, as it relates to both the poetic and linguistic questions concerning artificial intelligence, with all the ramifications related to subjectivity, its location, and its possible distribution. And, to put it mildly, we must heed Vitangelo Moscarda from One, None, and a Hundred Thousand, who warns You think you know yourselves... but you don’t know yourselves at all: let’s assume that behind the pronoun “I” there is a single entity, a subject that remains identical over time, that occupies a single body and maintains a single point of view on the world, but it takes little to realize that personal identity possesses a nature of stratified construction, dependent on criteria of individuation that normally coincide but which, in extreme conditions, separate and begin to offer different answers to the question of who we are. The contemporary discussion on personal identity arises from the recognition that common sense often relies, unknowingly, on two distinct criteria of individuation that in ordinary life proceed in tandem. The biological criterion identifies the person with the continuity of a living organism: I am the same person as yesterday because my body, however changed, is in a relationship of uninterrupted physical continuity with that of yesterday. The psychological criterion, on the other hand, identifies the person with the continuity of memory, personality, intentions, and mental dispositions: I am the same person because I remember (at least in part) what I have experienced, and my psychology today causally derives from that of yesterday, in the same way that the Ship of Theseus can still be defined as such: after all, our cells are completely renewed in a time span that is shorter than our lifespan. To these two criteria, David Chalmers adds a third, drawing on and systematizing a debate that dates back to Locke and which in the twentieth century received its most influential formulation in the works of Derek Parfit: I am equal to that future entity which, among all possible candidates, most resembles me according to certain relevant parameters. In everyday life, these three criteria never come into conflict: the body that persists is also the vehicle of the memory that persists, and is also, simply, the only candidate available for continuation. But this is not always the case: proceeding in a (for now?) purely speculative manner, we can in fact hypothesize scenarios in which there exists a device capable of scanning every molecule that makes me up and reconstructing a duplicate elsewhere in the universe (hopefully in a pleasant place), or in which it is possible to implement the transfer of the functional organization of a brain onto a different computational substrate, as happens to the poor Flatline from Neuromancer encountered some time ago; and in both scenarios we can consider the subsequent variations according to which the original is destroyed or not (I would make a backup for myself). Each of these variations, however, puts pressure on the intuition that personal identity is a one-to-one relationship; also because, from speculation to speculation, nothing prevents us from making multiple copies of ourselves, each of which, from the moment of separation, will have different experiences, making it problematic to identify with the original (if it has been preserved) or with the other surviving copies. Parfit, and Chalmers with him, in the face of such a situation, would object that the question itself, “am I still me?”, probably no longer makes much sense. If this is true, then perhaps we should abandon the language of identity in favor of a more permissive and less restrictive language. It remains to be investigated the fact that the unity of consciousness is not an automatic consequence of the simultaneous presence of multiple information processes, but requires an explanation in itself, and it is not at all obvious that such an explanation is available.

These identity concepts also apply to the problems of subjectivity exhibited by the behavior of generative language models. Each model “runs” on a machine, that is, on a physical support that is different from the others. In other words, it is a system that, unlike a biological organism, can be instantiated in an arbitrary number of parallel and mutually unaware computational processes, each of which has no access to the others and, in most cases, no persistent memory beyond the current episode. If we apply the three identification criteria discussed above to this scenario, the result is instructive: on the plane of psychological continuity within each instance, each process maintains local coherence (it remembers, within its own episode, what was said a little earlier); but, on the plane of continuity between different instances, there is no causal relationship involving memory that can connect them, and therefore, according to the psychological criterion, there is no basis for treating them as a single subject extended in time and computational space. What they have in common is not the continuity of an experience that flows from one instance to another, but the sharing of the same underlying functional organization (given, for example, by the same weights) realized independently multiple times. This is a situation that has no real analogue in ordinary biological experience, and which for this reason forces us to ask whether the very concepts of “subject” and “identity,” as we have inherited them from the reflection on single and spatially contiguous organisms, are still the right tools to describe it. Pirandello was right to raise the doubt: there are multiple subjects in the most technical sense of the term, which from time to time show a different and equally legitimate aspect of what we call, perhaps too hastily, a “self.”

Something similar can happen to us humans, in relation to language, when we speak different languages with equal ease. In most poets who have practiced more than one language, multilingualism remains a biographical fact that is reflected, occasionally, in their writing, with a second language chosen for historical, political, or emotional reasons coexisting with a recognizable native language. There are exceptions, even among multilingual poets: in Amelia Rosselli, for example, Italian, French, and English coexisted from childhood as parallel and equally constitutive systems, to the point that critics have spoken, in her case, not of an added trilingualism but of an original absence of a single native language. In this way, it is the writing itself that must constitute an identity that none of the three languages, taken individually, could guarantee. In addition to what has been said, Rosselli had a very solid musical background, which led her to teach composition; thus, in theorizing her poetics in *Spazi metrici* (a short treatise from 1962 that she herself defined as “popular and incomprehensible”), she proposes a metric principle not based on syllabic quantity or on the accent of the Italian tradition, but on an abstract spatial unit, borrowed from the perception of the musical measure. The verse is divided into spatio-temporal units and not into syllables, and the repetition of sounds or keywords takes on the structuring function that, in the Italian lyrical tradition, belongs to rhyme or syllabic meter. It is up to music, therefore, to cross the three languages and contaminate them in order to hold them together: the effect is that of a systematic appearance of calques, neologisms, and syntactic structures imported from one language into the fabric of another, which means that identity is born from a friction of languages and that the interference between linguistic systems becomes the place where language reveals functions that would otherwise be hidden.

How do language models handle ambiguity? Let’s start with the content of the output. A human learns the meaning of the words they use, also in relation to the context in which they are used, and the expectations of other humans with whom they intend to communicate. A generative language model, on the other hand, learns the regularities of word usage through a statistical process, well-balanced by a series of weights and controlled a posteriori in order to minimize a loss function. The difference between the two strategies leads to a change in the very notion of representation. In formal semantics, a term ideally refers to a referent or a precise definition. In LLMs, however, each token is represented by a vector whose value continuously depends on the context, and the meaning of words emerges exclusively from the relationships between their uses. Ambiguity constitutes part of the available information; it is not noise to be eliminated. Rather, it remains and hovers like a kind of fog when we, by virtue of being humans laboriously dedicated to hermeneutics, must understand how contextualizable what the model tells us is, and how well it has been able to navigate the dark forest of unsaid things, allusions, double meanings, and other non-formalizable entities among which we manage with relative ease, based on a human and social experience accumulated over time and mediated by the existence of a physical body inserted in its own history. Furthermore, since discursive coherence and epistemic correctness are different properties, nothing guarantees that the ambiguity produced by an LLM is of the same nature as that elaborated by a human author. We also note an important thing about the reliability of the output: the use of models, and the plausibility of the answers they provide, mean that we are increasingly less inclined to admit that we do not know something. In short, we remove our structural ambiguity: from an economic and psychological point of view, we prefer any answer (in fact, often and usually correct, at least on the statistical side) to a void that we would not know how to manage.

Another issue concerns the internal ambiguity within the model, namely, on the one hand, the interpretability of LLMs, which involves understanding how to relate the model’s outputs, produced in an opaque manner from a computational point of view, to humanly comprehensible reasoning, and, on the other hand, their explainability, i.e., the possibility of describing the internal functioning of the model. The standard evaluation of performance, which typically relies on accuracy on a test sample, is increasingly considered an insufficient metric to guarantee the reliability of the model. Even when a model achieves good results on benchmarks, a “black box” success does not guarantee that the underlying solution is adequate or safe, and this has repercussions on everything related to the model’s transparency, its reliability, and the search for internal misalignments, such as the emergence of unintended agents. One of the problems stems from the fact that the computational “effort” associated with applying interpretability algorithms increases with the size of the model, making the analysis feasible only on smaller models, but in which phenomena due to scale may not emerge; the increase in a model’s capabilities, in fact, does not necessarily follow a linear trend. Part of these conceptual and technical challenges mirrors the opposition in 20th-century hermeneutics between explaining and understanding: a mechanistic analysis that correctly identifies a computational circuit does not, in itself, ensure that the human observer has achieved an understanding of why that circuit performs its function.

Ambiguity is the price we pay for productive uncertainty: yet, it is also what gives us the necessary conditions to arrive at an interpretation. This happens in mathematics, it happens in the structuring of formal systems, and it happens, even more so, in literary composition, in verse or in prose.

One might also wonder how a causal model, which processes text one token at a time, without access to the future, can disambiguate a word when the clarifying context arrives later: for example, when a text mentions a key, and only later specifies whether it is a tool for opening a door, a way to interpret a riddle, or what in a musical score fixes the position of the notes. Recent studies show how the representation of the ambiguous token remains almost unchanged over time, but not due to a limitation of the model, but rather because the model possesses the latent ability to distinguish between the two meanings. At this point, disambiguation is simply deferred: subsequent tokens query the value vector of the ambiguous word, extracting a package of information consistent with its own context, and guiding the text to speak in a sensible way about locks, puzzles, or music. This is an image that reverses the naive intuition according to which meaning is deposited progressively, word after word, like a building that is constructed from the bottom up: rather, meaning is claimed retroactively in a gesture that more closely resembles the hermeneutic circle seen earlier than the syntactic linearity to which causal architecture would, in theory, be bound. The risk of anthropomorphization is, of course, very high, and so tempting that we cannot help but at least for a moment delude ourselves that we have found elsewhere a mirror of our behavior. The machine does as we do! It thinks! It reasons!

But we must reactivate our reasonable precautions: the fact that the model distinguishes between the literal and metaphorical meaning, a posteriori, does not imply that the model understands the metaphor in the sense in which it is understood, say, by Lakoff, that is, as a structured projection from a concrete domain to an abstract one, or even rooted in a bodily experience. Instead, it is a purely distributional and attentional mechanism, in which disambiguation is controllable because it is a repeatable vector operation, and not an act of judgment as it might be for us.

Let’s conclude with poetry and seek help from Borges. Specifically, from Borges the poet, and the two images that shape the imagination of a large part of the Borges universe: the mirror and the labyrinth.

[…]

I see them, they’re so basic.

Executors of an ancient pact.

To multiply the world as an act.

Generative, sleepless, and fateful.

[Mirrors. From The Craftsman, 1960, translated by Livio Bacchi Wilcock]

The poem revisits a theme already explored years earlier in the imaginary heresiarch of Uqbar, namely the idea that mirrors and conjunctions are abominable because they multiply the number of people. The mirror introduces into the real world a copy that silently doubles it, an “other” space that is both contiguous and inaccessible, populated by mute presences that imitate every gesture without ever being able to perform it on their own; it is the emblem of a universe that reflects infinitely without there being, behind the last image, an original to which to refer. The labyrinth, on the other hand, takes space and complicates it: thus, we have a building composed of corridors that branch off, built by the cosmos itself and, significantly, lacking the Minotaur that in classical tradition justified its existence.

Do not hope that your harsh path
which blindly forks in two,
which blindly forks in two,
will come to an end. […]

It doesn’t exist. Don’t expect anything.
Not even in the darkest night of the fair.

[Labyrinth. From In Praise of Shadow, 1969, translated by Francesco Tentori Montalto]

The mirror and the labyrinth are devices of repetition without foundation, forms that generate themselves through internal reference rather than through reference to a stable origin: they are a synthesis and representation of the idea that identity never rests on an ultimate foundation, because fate imposes on it the necessity of constituting itself entirely in the play of its own internal references.

And we haven’t even touched upon the realm of dreams and the unreality that belongs to it: we are about to enter it, cautiously, with the verses of poems and with the hallucinations of language models.

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Bibliography

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Per una presentazione dell’opera, rimando all’omonima sezione che potete trovare nella homepage di Sillabe.

Inoltre, il tema dell’ambiguità mi è sembrato talmente fecondo da spingermi a scrivere una nuova serie di riflessioni, sulla scorta di quel che state leggendo in Codici e versi. La serie, che si chiamerà Lasciare aperte le parole - Poesia e macchine di fronte all’ambiguità, dovrebbe uscire nel 2027, con calma (il tempo di lavorarci: non sono una macchina 🥵)

6. Le risorse dell’ambiguità

Ci si rispecchia nella natura e nella parola, e non è difficile trovare nell’una i rimandi dell’altra. In alcuni autori è particolarmente evidente: Joseph Conrad, per esempio, ci insegna che vivere sul mare modifica il modo di percepire il tempo, lo spazio, il rischio e perfino il linguaggio, che il sapere marittimo non può essere completamente formalizzato; il Palomar di Calvino cerca continuamente di osservare il mondo eliminando le interpretazioni arbitrarie, Thoreau usa gli elementi naturali come strumenti per mettere in crisi categorie sociali e temporali; funziona anche con gli ambienti artificiali di cui non riusciamo a crearci una mappa totalmente fedele, come ci ricorda Kafka che, malgrado tutto, non riesce mai a trasformare la burocrazia in un sapere complessivo. We know more than we can tell, avrebbe chiosato Michael Polanyi, ribadendo che una parte costitutiva di ciò che sappiamo non è separabile dalle modalità pratiche, corporee e percettive attraverso cui sappiamo e che l’esperienza, più che aggiungere informazioni, è un’attività che modifica il modo in cui prestiamo attenzione alle cose. E, facendo ciò, continuiamo a imitare la natura, a trarne discorsi coerenti, a implementare sistemi di formalizzazione che ci garantiscano un minimo di orientamento. Eppure ci capita ancora di perderci, di incappare in ambiguità improvvise, e non ne risultiamo menomati. L’idea di base che una verità esista, che la mente umana possa realmente esserne partecipe e che tale partecipazione sia tuttavia mediata da simboli e mai totale, è stata felicemente espresso da Paolo di Tarso nella Prima lettera ai Corinzi (1 Cor, 13,12) dicendo che Ora vediamo come in uno specchio, in enigma; per aggiungere subito dopo che, quando avremo preso parte alla rivelazione divina, allora vedremo faccia a faccia. La conoscenza terrena è transitoria, e solo la caritas permane, dice Paolo.
Dovendoci accontentare di più accessibili e garantite esperienze terrene, concentriamoci però sulla metafora. Gli specchi, al tempo di Paolo, erano costituiti da lastre di bronzo (o argento) lucidato: l’immagine che restituivano era sì reale, ma anche inevitabilmente sfocata, deformata e dipendente dall’angolo incidente della luce, sicché — traslando al caso generale al di là delle immagini visive — ogni conoscenza portava con sé una componente inevitabile di imperfezione. Quel che impariamo dando retta a Paolo è che la realtà si lascia intravedere, ma mai possedere completamente. A supportare la tesi è anche la scelta della parola, enigma, che descrive una forma di linguaggio che rivela i propri contenuti proprio attraverso il nascondimento.

La riflessione di Paolo ebbe un enorme seguito filosofico e teologico, andando a incidere sugli studi biblici tanto quanto sulla teoria generale della conoscenza; che si parli di limiti della ragione, di volontà e rappresentazione, di interpretazioni da inquadrare in un contesto storico e linguistico, di ricezioni mediate da simboli, di sottodeterminazione dei modelli teorici, di elaborazioni statistiche del linguaggio umano, ci ritroviamo di volta in volta a confrontarci con l’ambiguità non come semplice polisemia ma come eccedenza di significato rispetto a una descrizione: ogni volta che rappresentiamo qualcosa lasciamo fuori dei pezzi, ne introduciamo altri, e deformiamo parte di ciò che resta.

Abbiamo visto, nel corso dei capitoli precedenti, che rappresentare significa sempre interpretare, e non esiste una descrizione priva di prospettiva: essa include inevitabilmente dei processi di selezione e di organizzazione e, in definitiva, di giudizio.

L’ambiguità che ne deriva è il segno della distanza che separa il mondo dai modi in cui lo rendiamo intelligibile. Prendiamo la poesia e vediamola da un punto di vista aristotelico: il poeta mostra ciò che potrebbe accadere secondo necessità o verosimiglianza e la sua opera, pertanto, risulta più filosofica della cronaca perché coglie strutture generali dell’esperienza. Se poi l’opera non deve riprodurre fedelmente il reale, allora essa può condensare significati molteplici, e l’ambiguità diventa la conseguenza della ricerca dell’universale attraverso il particolare. E lo fa — qui ci apriamo a prospettive contemporanee, debitrici della teoria dell’opera aperta, tramite un processo dinamico di interpretazione, che vive dell’equilibrio tra ciò che esplicita e ciò che lascia implicito. Le parole non si limitano a riflettere il mondo, ma lo articolano e lo classificano; nel far ciò, ne evidenziano alcune relazioni e ne occultano altre. Prima ancora di essere uno strumento di comunicazione, il linguaggio è cioè un dispositivo di costruzione della realtà condivisa.

Quando parliamo affidiamo un’esperienza a un sistema di segni che è parimenti finito, condiviso e convenzionale. Il segno non coincide con la cosa giacché, come direbbe Saussure, il significato di una parola dipende dalla posizione che occupa all’interno dell’intero sistema linguistico o, per seguire Wittgenstein, dall’uso che una comunità ne fa. È qui che nasce l’ambiguità: se il significato dipende dalle relazioni tra i segni, esso non può mai essere completamente stabile. È qui, anche, che trovano spazio le metafore.

Siamo nelle mani dell’oracolo di Delfi, che accenna le sue risposte lasciandole alla nostra interpretazione, mentre pretende da noi che conosciamo noi stessi. Ora possiamo muoverci in due direzioni. La prima, che abbiamo esaminato nei capitoli precedenti, è quella di rimuovere il più possibile lo spazio per l’ambiguità, e di formalizzare il linguaggio nei limiti di quanto esso sia organizzabile come calcolo, e di quanto possiamo produrre, cartesianamente, idee chiare e distinte. E possiamo… definire la vaghezza e l’ambiguità nel contesto di una teoria che le colloca dentro l’architettura stessa del pensiero, del segno e, di lì a breve, della realtà. Innanzitutto, occorre distinguere con precisione due fenomeni che il senso comune tende a confondere sotto l’etichetta generica di “indeterminatezza”. Agli albori del XX secolo, Charles Peirce sosteneva che un segno è vago quando lascia indeterminato se il principio di non contraddizione debba applicarsi a un certo caso: di fronte a un’istanza di confine, non è determinato né che il predicato si applichi né che non si applichi, e questa indeterminazione non è colmabile facendo ulteriori domande a chi parla, perché chi parla stesso non ha, nelle proprie abitudini linguistiche, una risposta già pronta; un segno è invece generale quando lascia indeterminato, entro certi limiti, a quale principio di eccedenza si applichi il principio del terzo escluso: dire “un uomo mi ha salutato” non specifica quale uomo, ma questa indeterminatezza è in linea di principio colmabile.

Va detto che questa concezione non è rimasta priva di critiche. La letteratura contemporanea sulla vaghezza ha osservato che trattare l’incertezza dei casi di confine come “intrinseca” anziché come frutto di una precisazione mancata rischia di “congelare” un fenomeno che potrebbe invece restare fluido e contestuale: la scelta lessicale di Peirce anticipa, e in parte precorre criticamente, l’intera disputa novecentesca tra letture epistemiche, semantiche e supervalutazionali della vaghezza. Esemplifichiamole per ora con la seguente considerazione, che proviene da Achille Varzi: molte espressioni con cui popoliamo il nostro “catalogo del mondo” non hanno confini spazio-temporali precisi. Siffatta imprecisione è un fatto del linguaggio (vaghezza de dicto) o un fatto del mondo stesso (vaghezza de re)? Insomma, quando parliamo e quando scriviamo abbiamo a disposizione un catalogo preciso pieno di entità vaghe, o un catalogo vago pieno di entità precise? Sono questioni su cui abbiamo costruito dei paradossi: quante parti possiamo sostituire nella nave di Teseo? Quanti sassolini è lecito togliere dal mucchio prima di dire che quello che abbiamo davanti a noi non è più un mucchio? Il problema non è solo epistemico, perché la logica classica presuppone predicati precisi, e la vaghezza genera una contraddizione reale tra le nostre intuizioni e i principi elementari dell’inferenza deduttiva. Mettiamoci allora a cavillare, come farebbero i bravi logici: un enunciato con termini vaghi è vero se risulta vero sotto ogni modo ammissibile di rendere precisi i suoi termini, falso se lo è sotto ognuno, e privo di valore di verità quando le precisazioni divergono. E in questo modo dovremmo arginare i paradossi.

Sono speculazioni senza dubbio interessanti, ma noi intanto come ci dobbiamo comportare? Proviamo a seguire ancora Peirce: per ottenere chiarezza intorno a un concetto occorre considerare quali effetti concepibilmente pratici il suo oggetto potrebbe avere, e la nostra concezione di tali effetti costituisce l’intero contenuto della nostra concezione dell’oggetto. Se due tesi filosofiche, per quanto formulate in termini apparentemente incompatibili, non implicano alcuna differenza di conseguenze pratiche concepibili, allora la disputa tra loro è vuota. L’ambiguità che ci portano in dono è da dissolvere attraverso l’analisi, non da preservare come ricchezza semantica.

Se restiamo nell’ambito del linguaggio naturale, possiamo poi scegliere di adottare una strategia come quella di Paul Grice. Domandiamoci: come è possibile che il significato letterale di un enunciato sia sistematicamente diverso, e spesso più povero, di ciò che un parlante comunica effettivamente pronunciandolo? La distanza tra i due livelli, si badi bene, è il funzionamento ordinario della comunicazione. Eppure, o proprio per questo motivo, la conversazione è uno sforzo cooperativo. Cerchiamo allora di seguire poche semplici regole per non mandare tutto all’aria e mantenere l’ambiguità nei limiti del gestibile: non diciamo né più né meno di quanti richiesto, cerchiamo di dire la verità, nel senso di ciò per cui abbiamo delle prove adeguate, e cerchiamo di essere pertinenti, brevi e ordinati. E speriamo per il meglio! Con queste condizioni razionali di efficacia abbiamo almeno stabilito il presupposto normativo rispetto al quale ogni scarto diventa significativo. In realtà, le massime non vengono rispettate alla lettera in ogni singolo enunciato: eppure la comunicazione non fallisce perché, quando un parlante viola (apparentemente) una massima, l’ascoltatore è indotto a cercare un’interpretazione supplementare che renda l’enunciato di nuovo cooperativo.

Oppure, altra direzione: abbandoniamo le reticenze e il pudore dell’età adulta, e facciamo i poeti.

Qui ci viene in soccorso un esempio tratto dalla poesia persiana, e dall’estetica da essa sviluppata. L’īhām, termine reso in italiano come “anfibologia”o “ambiguità voluta”, consiste nell’impiego di un termine che possiede almeno due significati plausibili nel contesto lasciando il lettore libero, e anzi costretto, a percepire entrambi simultaneamente senza poterli separare in una lettura univoca. Dei due significati uno è immediato e uno più remoto, spesso enigmistico o allusivo. Nei ghazal di Ḥāfeẓ-e Shīrāzī, fondamentale poeta del XIV secolo, troviamo infatti la possibilità di una lettura puramente mondana, che utilizza nomi che rimandano all’ebbrezza alcolica e alla convivialità (come sāqī, coppiere, o mey, vino) e contemporaneamente una lettura mistica legata al sufismo, nella quale il vino è l’ebbrezza dell’unione con il divino e il coppiere la figura della grazia che la dispensa, così come il tormento amoroso la nostalgia dell’anima separata dal proprio principio divino. E tutto ciò accade, si badi bene, senza che il testo fornisca alcun criterio testuale per decidere quale delle due letture sia quella “vera”.

La doppiezza semantica qui messa in atto è stata talvolta letta dalla critica come un espediente di prudenza in un contesto di censura religiosa; ma la sua persistenza sistematica, la sua elaborazione tecnica all’interno della tradizione retorica, e soprattutto il piacere estetico che la sua compresenza produce nel lettore competente suggeriscono piuttosto che l’īhām costituisca, per l’estetica persiana, un valore positivo autonomo, una certificazione della superiorità del discorso che allude sul discorso che dichiara. L’autore parla al lettore riferendosi cioè tacitamente a una serie di codici interpretativi noti a entrambi, e attraverso i quali i due poli della comunicazione giocano a nascondersi e a ritrovarsi.

Ci sarà modo anche, per la poesia persiana, di trovare in seguito un proficuo confronto con l’estetica indiana, e con il dhvani che vi era stato autonomamente teorizzato. Fra il XVI e il XVIII secolo, sotto i Moghul, la poesia persiana fiorì infatti in un ambiente linguistico e culturale in stretto contatto con le tradizioni letterarie sanscrite e vernacolari indiane, dando origine al cosiddetto sabk-e hindī, lo stile indiano. Si trattava di una forma di poesia persiana caratterizzata da un’estrema densità metaforica, da immagini concettuali complesse e da un uso sistematico e quasi ipertrofico dell’ambiguità polisemica.

Torniamo ai crucci filosofici più propriamente detti. Nel frattempo, tra una metafora e un’allusione, continuiamo a comunicare in un contesto sociale di volta in volta definito, e che di pari passo definisce quello che siamo e le possibilità di ciò che possiamo dire e comprendere. Se consideriamo l’ambiguità non soltanto come proprietà di un enunciato, ma come condizione epistemologica della rappresentazione, dobbiamo ipotizzare (Francis Bacon lo farebbe, e noi con lui, perché ne abbiamo introiettato i crismi scientifici) che l’errore conoscitivo, da cui l’ambiguità può derivare, nasca spesso dal fatto che qualcosa si presenta come determinato e intelligibile quando invece è deformato dalle strutture attraverso cui lo percepiamo, lo nominiamo e lo interpretiamo; e dobbiamo ipotizzare altresì che tali strutture dipendano sia dalle proprietà delle parole sia da quelle della prospettiva antropologica in cui sono pronunciate. Innanzitutto, la mente umana tende a trovare più ordine, regolarità, simmetria e finalità di quanta ve ne sia effettivamente nella natura. La mente proietta sulle cose le proprie forme, assoggettandole a quelle che Bacon chiama idola tribus, per cui il dato non contiene necessariamente una sola lettura e chi lo interpreta introduce una struttura che seleziona una delle tante letture possibili. Dal momento che ciascuno di noi ha plasmato la propria identità attraverso educazione, abitudini, esperienze e inclinazioni, la medesima realtà può dunque essere articolata diversamente a seconda del sostrato ambientale e ideologico da cui viene filtrata: l’ambiguità emerge dall’interazione tra oggetto, soggetto e schema interpretativo. Bacon parlerebbe di idola specus; vedremo tra poco che anche l’identità, per quanto concerne la generazione di ambiguità, è un problema ancor più scivoloso di quanto sembri a prima vista. Le altre due fonti di ambiguità (idola theatri e fori rispettivamente, sempre per seguire la terminologia baconiana) riguardano il rapporto fra coerenza interna e verità e il fatto che le parole impongono alle cose distinzioni che possono non corrispondere alla loro struttura effettiva: in quest’ultimo aspetto ambiguità linguistica può farci scambiare la nostra organizzazione del mondo per il mondo stesso. Se lo domanderanno in tanti, poi, da Locke a Wittgenstein, quanto della struttura del mondo appartiene alle cose e quanto alle categorie linguistiche attraverso cui le descriviamo. È noto che gli idola erano, per Bacon, un problema da superare. Sappiamo però ora che il rumore è ineliminabile da qualsiasi forma di comunicazione, anzi, è una delle condizioni attraverso cui una realtà diventa leggibile. Se trattiamo l’ambiguità non come ciò che rimane quando l’informazione è insufficiente, ma come lo spazio delle possibilità che precede la scelta di un’interpretazione, possiamo per esempio considerare i modelli linguistici generativi alla stregua di dispositivi che mappano la molteplicità delle interpretazioni già sedimentate nel linguaggio umano e dimenticarci dei problemi inerenti la produzione delle loro stesse ambiguità.

Avevamo lasciato in sospeso la faccenda dell’identità, e delle ambiguità che si porta dietro. La riprendiamo subito, perché ha a che fare sia con le questioni poetiche che con quelle linguistiche inerenti l’intelligenza artificiale, con tutte le diramazioni inerenti la soggettività, la sua collocazione e la sua eventuale distribuzione. E, con buona pace dell’oracolo di Delfi, tocca dare subito ascolto al Vitangelo Moscarda1 di Uno, nessuno e centomila, quando ammonisce Voi credete di conoscervi... ma non vi conoscete affatto: diamo per inteso che dietro il pronome “io” vi sia un’unica cosa, un soggetto che permane identico attraverso il tempo, che occupa un solo corpo e sostiene un solo punto di vista sul mondo, ma basta poco per accorgerci che l’identità personale possiede una natura di costrutto stratificato, dipendente da criteri di individuazione che normalmente coincidono ma che, in condizioni limite, si separano e cominciano a offrire risposte diverse alla domanda su chi siamo. La discussione contemporanea sull’identità personale nasce dal riconoscimento che il senso comune si affida, spesso senza saperlo, a due criteri distinti di individuazione che nella vita ordinaria procedono appaiati. Il criterio biologico identifica la persona con la continuità di un organismo vivente: io sono la stessa persona di ieri perché il mio corpo, per quanto mutato, è in una relazione di continuità fisica ininterrotta con quello di ieri. Il criterio psicologico identifica invece la persona con la continuità di memoria, personalità, intenzioni e disposizioni mentali: sono la stessa persona perché ricordo (almeno in parte) ciò che ho vissuto, e la mia psicologia di oggi discende causalmente da quella di ieri, allo stesso modo in cui la Nave di Teseo continua a poter essere definita tale: in fondo, le nostre cellule si rinnovano completamente in un arco di tempo che è inferiore a quello della nostra vita. A questi due discrimini David Chalmers ne aggiunge un terzo, riprendendo e sistematizzando un dibattito che risale a Locke e che nel Novecento ha ricevuto la sua formulazione più influente nei lavori di Derek Parfit: io sono uguale a quell’entità futura che, tra tutte le candidate possibili, mi somiglia di più secondo certi parametri rilevanti. Nella vita quotidiana questi tre criteri non entrano mai in conflitto: il corpo che persiste è anche il veicolo della memoria che persiste, ed è anche, banalmente, l’unico candidato disponibile alla continuazione. Ma non è sempre così: procedendo in maniera (per ora?) puramente speculativa, possiamo infatti ipotizzare degli scenari nei quali esista un dispositivo in grado di scansionare ogni molecola che mi compone e ricostruirne un duplicato da un’altra parte nell’universo (si spera in un posto gradevole), o nei quali sia possibile mettere in pratica il trasferimento dell’organizzazione funzionale di un cervello su un substrato computazionale diverso, come accade al povero Flatline di Neuromante incontrato qualche tempo fa; e in entrambi gli scenari possiamo vagliare le successive varianti secondo cui l’originale viene distrutto oppure no (io per me farei un backup). Ognuna di queste varianti, comunque, mette sotto pressione l’intuizione che l’identità personale sia una relazione uno-a-uno; anche perché, di speculazione in speculazione, nulla vieta che possiamo fare copie multiple di noi stessi, ciascuna delle quali dal momento della separazione in poi avrà esperienze diverse, rendendo problematica l’identificazione con l’originale (se è stato preservato) o con le altre copie superstiti. Parfit, e Chalmers con lui, di fronte a una situazione del genere obietterebbero che probabilmente la domanda stessa “sono ancora io?” non ha nemmeno più molto senso. Se questo è vero, allora dovremmo forse abbandonare il linguaggio dell’identità in favore di un linguaggio più permissivo e meno vincolato. Resta poi da indagare il fatto che l’unità della coscienza non è una conseguenza automatica della compresenza fisica di più processi informativi, ma richiede una spiegazione a sé, e non è affatto ovvio che tale spiegazione sia disponibile.

Questi concetti identitari si applicano anche ai problemi della soggettività esibita dai comportamenti dei modelli linguistici generativi. Ciascun modello “gira” su una macchina, vale a dire su un supporto materiale fisicamente diverso dagli altri. Si tratta cioè di un sistema che, a differenza di un organismo biologico, può essere istanziato in un numero arbitrario di processi computazionali paralleli e reciprocamente inconsapevoli, ciascuno privo di accesso agli altri e privo, nella maggior parte dei casi, di memoria persistente al di là dell’episodio in corso. Se applichiamo a questo scenario i tre criteri di individuazione discussi in precedenza, il risultato è istruttivo: sul piano della continuità psicologica interna a ciascuna istanza, ogni processo mantiene una coerenza locale (ricorda, all’interno del proprio episodio, ciò che è stato detto poco prima); ma, sul piano della continuità tra istanze diverse, non c’è alcuna relazione causale che coinvolga la memoria in grado di collegarle, e quindi, per il criterio psicologico, non c’è alcuna base per trattarle come un unico soggetto esteso nel tempo e nello spazio computazionale. Ciò che le accomuna non è la continuità di un’esperienza che fluisce da un’istanza all’altra, ma la condivisione di una medesima organizzazione funzionale sottostante (data per esempio dagli stessi pesi) realizzata indipendentemente più volte. È una situazione che non ha un vero e proprio analogo nell’esperienza biologica ordinaria, e che per questo costringe a chiedersi se i concetti stessi di “soggetto” e “identità”, così come li abbiamo ereditati dalla riflessione su organismi singoli e spazialmente contigui, siano ancora gli strumenti giusti per descriverla. Pirandello aveva ragione a insinuare il dubbio: ci sono soggetti molteplici nel senso più tecnico del termine che di volta in volta mostrano un aspetto diverso e ugualmente legittimo di ciò che chiamiamo, forse troppo frettolosamente, un “sé”.

A noi umani può capitare qualcosa di simile, relativamente al linguaggio, quando parliamo con pari facilità lingue diverse. Nella maggior parte dei poeti che hanno praticato più di una lingua, il plurilinguismo resta un fatto biografico che si riflette, occasionalmente, nella scrittura, prevedendo una seconda lingua scelta per ragioni storiche, politiche o affettive, che convive con una lingua materna riconoscibile come tale. Ci sono delle eccezioni, pur tra i poeti plurilingui: in Amelia Rosselli, per esempio, l’italiano, il francese e l’inglese coesistevano fin dall’infanzia come sistemi paralleli e ugualmente costitutivi, al punto che la critica ha potuto parlare, a suo proposito, non di trilinguismo aggiunto ma di un’assenza originaria di lingua materna unica. In questo modo è la scrittura stessa a dover costituire un’identità che nessuna delle tre lingue, presa singolarmente, potrebbe garantire. Oltre a quanto detto, Rosselli aveva una formazione musicale molto solida, che l’avrebbe portata a insegnare composizione; sicché nel teorizzare la sua poetica in Spazi metrici (breve trattato del 1962 che lei stessa definì “divulgativo e incomprensibile”), propone un principio metrico non fondato sulla quantità sillabica o sull’accento della tradizione italiana, ma su un’unità spaziale astratta, mutuata dalla percezione della battuta musicale. Il verso si divide in unità spaziotemporali e non in sillabe, e la ripetizione di suoni o di parole chiave assume la funzione strutturante che nella tradizione lirica italiana spetta alla rima o al metro sillabico. Tocca alla musica, quindi, attraversare le tre lingue e contaminarle per tenerle insieme: l’effetto è quello di una comparsa sistematica di calchi, neologismi e strutture sintattiche importate da una lingua nel tessuto di un’altra, che fa sì che l’identità nasca da un attrito di lingue e che l’interferenza fra i sistemi linguistici diventi il luogo in cui la lingua rivela funzionamenti altrimenti nascosti.

Come si comportano i modelli linguistici nei confronti dell’ambiguità? Partiamo dal contenuto dell’output. Un essere umano apprende il significato delle parole che usa, anche in relazione al contesto in cui sono usate, e alle aspettative che hanno gli altri esseri umani con cui intende comunicare. Un modello linguistico generativo apprende invece le regolarità dell’utilizzo delle parole tramite un procedimento statistico, ben bilanciato da una serie di pesi e controllato a posteriori in modo da minimizzare una funzione di perdita. La differenza tra le due strategie Port alla modifica della nozione stessa di rappresentazione. Nella semantica formale un termine rimanda, idealmente, a un referente o a una definizione precisa. Negli LLM, invece, ogni token è rappresentato da un vettore il cui valore dipende continuamente dal contesto, e il significato delle parole emerge esclusivamente dalle relazioni tra i loro utilizzi. L’ambiguità costituisce parte dell’informazione disponibile, non è un rumore da cercare di eliminare. Piuttosto, permane e aleggia come una sorta di nebbia quando noi, in virtù del fatto di essere degli umani faticosamente dediti all’ermeneutica, dobbiamo capire quanto sia contestualizzabile ciò che il modello ci dice, e quanto esso sia stato capace di muoversi nella selva oscura di non detti, di allusioni, di doppi sensi e di altre entità non formalizzabili tra le quali ci destreggiamo con relativo agio, sulla scorta di un’esperienza umana e sociale accumulata nel corso del tempo e mediata dall’esistenza di un corpo fisico inserito in una propria storia. In più, dal momento che la coerenza discorsiva e la correttezza epistemica sono proprietà differenti, nulla ci garantisce che l’ambiguità prodotta da un LLM sia della stessa natura di quella elaborata da un autore umano. Notiamo poi una cosa importante sull’affidabilità dell’output: l’uso dei modelli, e la plausibilità delle risposte che ci forniscono, fanno sì che siamo sempre meno propensi ad ammettere di non sapere qualcosa. Rimuoviamo la nostra ambiguità strutturale, insomma: preferiamo, da un punto di vista economico e psicologico, una risposta purchessia (in effetti, spesso e volentieri corretta, almeno sul lato statistico) a un vuoto che non sapremmo come gestire.

Un’altra questione riguarda invece l’ambiguità interna al modello, vale a dire da un lato l’interpretabilità dei LLM, ove si tratta di capire come mettere in relazione gli output del modello, prodotti in maniera opaca dal punto di vista computazionale, con un ragionamento umanamente comprensibile, e dall’altro lato la loro spiegabilità, cioè la possibilità di descrivere il funzionamento interno del modello. La valutazione standard delle prestazioni, che si basa tipicamente sull’accuratezza su un campione di prova, è sempre più considerata una metrica insufficiente per garantire l’affidabilità del modello. Anche quando un modello ottiene buoni risultati sui benchmark, infatti, un successo “a scatola nera” non garantisce che la soluzione sottostante sia adeguata o sicura, e questo ha ripercussioni su tutto ciò che riguarda la trasparenza del modello, la sua affidabilità e la ricerca di disallineamenti interni, come l’emergere di agenti non previsti. Uno dei problemi deriva dal fatto che la “fatica” computazionale legata all’applicazione di algoritmi di interpretabilità cresce con le dimensioni del modello, rendendo l’analisi fattibile solo su modelli più piccoli ma nei quali possono non emergere fenomeni dovuti alla scala; l’aumentare delle capacità di un modello, infatti, non necessariamente segue un andamento lineare. Parte di queste sfide concettuali e tecniche riproducono l’opposizione dell’ermeneutica novecentesca tra spiegare e comprendere: un’analisi meccanicistica che individua correttamente un circuito computazionale non assicura, di per sé, che l’osservatore umano abbia raggiunto una comprensione del perché quel circuito realizzi la sua funzione.

L’ambiguità è il prezzo che paghiamo per l’incertezza produttiva: eppure, è anche ciò che ci dà le condizioni necessarie per arrivare a un’interpretazione. Accade nella matematica, accade nella strutturazione dei sistemi formali e accade, a maggior ragione, nella composizione letteraria, in versi o in prosa.

Ci si può peraltro chiedere come faccia un modello causale, che processa il testo un token alla volta, senza avere accesso al futuro, a disambiguare una parola quando il contesto chiarificatore arriva dopo: per esempio, quando un testo nomina una chiave, e solo in un secondo momento specifica se si tratta di uno strumento per aprire una porta, di una modalità per interpretare un indovinello o di ciò che in una partitura musicale fissa la posizione delle note. Studi recenti mostrano come la rappresentazione del token ambiguo resti quasi invariata nel tempo, ma non per un limite del modello, quanto piuttosto perché il modello possiede la capacità latente di distinguere i due sensi. A questo punto la disambiguazione viene semplicemente deferita: i token successivi interrogano il vettore-valore della parola ambigua, estraendone un pacchetto informativo coerente col proprio contesto, e indirizzando il testo a parlare in maniera sensata di serrature, di enigmistica o di musica. È un’immagine che rovescia l’intuizione ingenua secondo cui il significato si deposita progressivamente, parola dopo parola, come un edificio che si costruisce dal basso: il significato viene piuttosto reclamato retroattivamente in un gesto che ricorda più il circolo ermeneutico visto in precedenza che la linearità sintattica su cui l’architettura causale sarebbe, in teoria, vincolata. Il rischio di antropomorfizzazione è, ovviamente, elevatissimo, e talmente invitante che non possiamo non illuderci almeno per un istante di aver trovato altrove uno specchio del nostro comportamento. La macchina fa come noi! Pensa! Ragiona!

Ma dobbiamo riattivare le nostre ragionevoli cautele: il fatto che il modello distingua il senso letterale e quello metaforico, a posteriori, non implica che il modello comprenda la metafora nel senso in cui la intende, per dire, Lakoff, cioè come proiezione strutturata da un dominio concreto a uno astratto, o addirittura radicata in un’esperienza corporea. Si tratta invece di un meccanismo puramente distribuzionale e attentivo, nel quale la disambiguazione è pilotabile perché è un’operazione vettoriale ripetibile, e non un atto di giudizio come potrebbe essere il nostro.

Chiudiamo con la poesia e chiediamo soccorso a Borges. In particolare, al Borges poeta, e alle due immagini che plasmano l’immaginario di buona parte dell’immaginario borgesiano: lo specchio e il labirinto.

[…]
Infiniti li vedo, elementari
Esecutori di un antico patto
Moltiplicare il mondo come l’atto
Generativo, insonni e fatali

[Gli specchi. Da L’artefice, 1960, trad. di Livio Bacchi Wilcock]

La poesia riprende un motivo già affidato, anni prima, all’eresiarca immaginario di Uqbar, cioè l’idea che gli specchi e la copula siano abominevoli perché moltiplicano il numero degli uomini. Lo specchio introduce nel mondo reale una copia che lo raddoppia silenziosamente, un “altro” spazio contiguo e insieme inaccessibile, popolato da presenze mute che imitano ogni gesto senza mai poterlo compiere per proprio conto; è l’emblema di un universo che si riflette all’infinito senza che vi sia, dietro l’ultima immagine, un originale a cui fare riferimento. Il labirinto, invece, prende lo spazio e lo complica: ecco dunque un edificio composto da corridoi che si biforcano, costruito dal cosmo stesso e privo, significativamente, del minotauro che nella tradizione classica ne giustificava l’esistenza.

Non sperare che l’aspro tuo cammino
che ciecamente si biforca in due,
che ciecamente si biforca in due,
abbia fine. […]

Non esiste. Non aspettarti nulla.
Neanche nel nero annottare la fiera.

[Labirinto. Da Elogio dell’ombra, 1969, trad. di Francesco Tentori Montalto]

Specchio e labirinto sono dispositivi di ripetizione senza fondamento, forme che si autogenerano per rimando interno anziché per riferimento a un’origine stabile: sintesi e rappresentazione dell’idea che l’identità non riposi mai su un fondamento ultimo, perché il destino le commina la necessità di costituirsi interamente nel gioco dei propri rimandi interni.

E non abbiamo ancora sfiorato il regno del sogno, e dell’irrealtà che vi pertiene: stiamo per entrarci, cautamente, coi versi delle poesie e con le allucinazioni dei modelli linguistici.

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For a presentation of the work, I refer you to the section with the same name, which you can find on the homepage of Sillabe.

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5. Mathematics and shadows

5.2. Formalize and recreate.

पादबद्धोऽक्षरसमस्तन्त्रीलयसमन्वितः |
शोकार्तस्य प्रवृत्तो मे श्लोको भवतु नान्यथा || १-२-१८

While I was tormented by pain, a four-line verse with an equal number of syllables sprang from me, which could be sung and played with a stringed instrument; may it become a poem and nothing else.

(Valmiki, Ramayana; Balakanda, 2.18)

After proceeding to denote and classify, let us now see how it is possible to relate to the problem of formalizing language: and this will be useful for us to move both within the scope of delegating mathematical proofs to artificial intelligence and among the questions that the statistical and automatic generation of poetic texts inevitably raises.

We have already seen that the project of freeing thought from the ambiguity of natural language through a system of artificial signs dates back at least to Gottfried Wilhelm Leibniz, who imagined a characteristica universalis, that is, a kind of alphabet of human thoughts capable of representing every simple concept with a unique symbol and every complex concept with the combination of simple symbols. This alphabet was then to be coupled with a calculus ratiocinator that would make it possible to resolve philosophical controversies not through rhetorical discussion but through calculation. Due to technical and conceptual limitations, Leibniz’s dream remained just that for a couple of centuries, but towards the end of the 19th century, things began to change. In 1879, Frege put into operation the first system of predicate logic with quantifiers, with which he intended to represent in a rigorous way the inferential structure of statements usually handled by Aristotelian logic, including those in which Aristotelian logic ran into difficulties. The goal was to demonstrate that the entire arithmetic could be derived from purely logical laws, without any recourse to Kantian spatial or temporal intuition: the project failed when Russell discovered an antinomy in Frege’s system, that is, the difficulty of treating the set of all sets that do not contain themselves as an element.

At the same time, Hilbert’s formalist approach was developed alongside this logicist approach, aiming to axiomatize every mathematical theory into a finite formal system of symbols and purely syntactic transformation rules, and to demonstrate, using finitist methods, that such systems were consistent and complete. Here too, we know that things did not go well: every consistent formal system that is sufficiently powerful to represent elementary arithmetic contains true statements that cannot be proven within the system itself, and such a system cannot even prove its own consistency using only its own means. Once Gödel had demonstrated this, it was discovered that no formal system can be, at the same time, sufficiently expressive, consistent, and complete, and that formalization has internal structural limitations that undermine its universality. However, the problem of formalization has not gone out of style: we continue to formalize, extensively and effectively, and the ways in which we do so impact our ability to interact with computing machines. We will return to this soon; but in the meantime, regarding proofs, it would be good to also address them and see how they lead to computability.

The late 19th and early 20th centuries also brought with them other mathematical crises, which were genuine crises of the foundations. The first arose with the discovery of non-Euclidean geometries, whose conceptual solidity led to a redefinition of what was meant by axiom; the second event was the arithmetization of analysis, the program carried out by Cauchy, Bolzano, Weierstrass, and Dedekind to free infinitesimal calculus from intuitive and sometimes contradictory notions of infinitesimals, replacing them first with the rigorous definition of a limit and finally with purely arithmetic constructions of real numbers. The explicitly stated goal was to reduce all of mathematical analysis to the arithmetic of natural numbers, according to Kronecker’s motto that integers were created by God, while everything else was the work of man. As if that were not enough, Georg Cantor’s set theory arrived, introducing a rigorous hierarchy of actual infinities (transfinite cardinal and ordinal numbers) and thus, paradoxically, providing the technical tool to realize the program of arithmetic reduction: but it did so at the cost of admitting a universe of infinite totalities whose logical consistency was far from guaranteed. It was within this set-theoretic universe that the first paradoxes emerged: including, as we have just seen, Russell’s paradox concerning the set of all sets that do not belong to themselves.

In addition to the logicist and formalist responses, the intuitionist and constructivist approach was also adopted, as we have seen in the previous chapters.

Starting in the 1930s, computability theory led to the formulation of the concept of the Turing machine and its ability to handle what can be demonstrated in finite time, or to demonstrate that there are undecidable problems; an equivalent approach came from Church’s lambda calculus, a formal system that examines the definition and application of functions, and which constitutes the theoretical basis of functional programming and modern languages based on it. Thus, we have a mathematically precise and universally accepted explanation of the informal intuition of an algorithm.

Let’s return for a moment to the crisis of the foundations. If we want to establish mathematics in a coherent and stable way, we must ask ourselves, among other things, what mathematical statements are about, and with what primitive rules they can be constructed and justified. Historically, two answers were given. The first was the axiomatic set theory of Zermelo and Fraenkel, which started from Cantor’s infinite collections and the revolutionary idea that there existed different infinities that could be compared in terms of cardinality, and which led to a series of paradoxes due to the naive definition of a set, close to the intuitive idea of a collection. The path taken by Zermelo and Fraenkel involved regulating this intuitive idea. First of all, it is not true that every property defines a set! Sets must satisfy axioms, or rather, a schema of axioms, which guarantee, for example, that our definitions of a set, of infinity, of a union, or of separability have logical consistency. To these axioms, another is traditionally added, called the axiom of choice, according to which for every non-empty family of non-empty sets, there exists a function that assigns to each set in the family one of its elements, and all together they constitute the basis for the entire formulation of modern mathematics.

The axiom of choice was the subject of many controversies, among other things because its adoption implied the existence of counterintuitive objects, for example, allowing the construction, from a three-dimensional sphere decomposed into infinitely many pieces, of two spheres equal to the original one (this phenomenon is known as the Banach-Tarski paradox). It is also not well-liked by those who do not like the principle of the excluded middle, because the acceptance of the axiom of choice implies the validity of the latter. However, its success is such that it is generally accepted without too much grumbling.

Within the axiomatic framework of set theory, all of mathematics is encoded as sets: numbers, functions, spaces, and structures all have their definition in terms of sets. In other words, a single type of object, the set, and a single type of relation, membership, are sufficient in principle to encode the entire mathematical edifice. The cost of this approach lies in the arbitrariness of the encodings, whereby the set-theoretic encoding overdetermines the structure it is dealing with at that moment. This is a problem analogous to that of certain equivalent physical theories that correctly explain the same phenomenon; but these are epistemological issues that are well beyond the scope of what we can address here.

Unlike set theory, type theory offers an alternative approach, also stemming from the same foundational crisis. Russell, struck by the paradox that now bears his name, did not correct the notion of a set from the outside by means of axioms that limited its formation; instead, he replaced it with a hierarchy of syntactically distinct levels. Thus, there are objects at level 0, sets of objects at level 1, sets of sets at level 2, and so on. Since it is formally forbidden for an entity to be part of a class that is at its own level or a lower level, the danger of self-reference is blocked, and a paradoxical statement such as “x belongs to x” becomes meaningless.

Based on these hierarchical principles, Church founded the theory of types using lambda calculus, creating what is known as simply typed lambda calculus. It works as follows: there are two primitive types, individuals (mathematical objects) and propositions (truth values, true or false), and from these types, functional types are constructed using the arrow operator. Every term in lambda calculus must strictly declare its own type, and in this way, using only functions, the entire mathematical system can be reconstructed: numbers are functions, operations are manipulations of functions, and so on.

Why is all of this important? Because we can make use of a set-theoretic interpretation and demonstrate that type theory is equivalent to set theory, but also because types can be seen as part of a programming language, that is, in a computational interpretation; or because we can think that types represent propositions and their terms encode proofs, so that type theory becomes a logical calculus.

From the intersection of mathematical logic and computer science, a further development of this problem emerged: that of formal ontologies. As we know, the term ontology traditionally designates the study of what exists and the fundamental categories of being; in computer science, however, it takes on a more operational meaning. A formal ontology is an explicit and rigorous description of the entities that belong to a specific domain, the relationships that can exist between them, and the rules that govern their behavior. Without claiming to establish what actually exists, it simply defines which objects a computer system should assume as primitives in order to reason consistently. A process of formalization always implies, in reality, an ontological choice: even before establishing the rules of inference, it is necessary to decide which objects can appear in the language, which properties can be attributed to them, and which relationships are considered significant. We are translating the philosophical question about existence into its computational analogue: “what objects is the system authorized to talk about?”

Formal ontologies can be considered a contemporary, albeit limited, realization of Leibniz’s project of a characteristica universalis. Here, too, an artificial language is constructed in which each term has a strictly defined meaning and every inference is based on rules of calculation rather than subjective interpretation. The difference is that, instead of aiming to represent all human knowledge, modern ontologies describe specific and well-defined domains, from biological systems to computer networks; it is, however, a way of addressing the problem of knowledge representation again and moving it towards mathematical formalization.

Let’s revisit an old issue, the existence of objects, which troubled us in chapter 4. Let’s look at it from a mathematical point of view and remember the two different approaches: for the classical mathematician, a mathematical object exists if its non-existence is contradictory; a proposition is true or false independently of whether we have proof of one case or the other. We rely on the principle of the excluded middle. For an intuitionist, on the other hand, the existence of a mathematical object does not precede, but coincides with its actual construction, and the meaning of a proposition is inseparable from the method for verifying it.

Starting from this point of view, it is then possible to formulate an alternative semantics to classical propositional logic, in which the meaning of each logical connective is defined in terms of constructive operations on proofs. This semantics is called Brouwer-Heyting-Kolmogorov semantics and transforms logical proofs into computational objects: for example, a proof of A → B is an effective procedure that transforms any proof of A into a proof of B. Having reached this point, we can construct (!) a dictionary that puts the key concepts of intuitionistic logic and those of typed lambda calculus in one-to-one correspondence. The result is called the Curry-Howard correspondence. We thus have a way to transform a proof into a dynamic and computational object, because it is not limited to attesting that a proposition is true, but contains an effective procedure for constructing the mathematical objects of which the proposition asserts the existence. But there is more. The identity between two proofs of the same proposition, that is, two terms of the same type, can be interpreted from a topological point of view, that is, as a path in the (homotopic) space of types: if two mathematical structures are in a bijective correspondence that preserves the structure, then they are the same object.

However, a philosophical problem arises here, stemming precisely from the identity of the proofs. Two different proofs of the same proposition are, logically, interchangeable: both establish the truth of the same conclusion. But from a Curry-Howard perspective, two different programs of the same type are not at all interchangeable as computational objects: they can have different time complexities, use different resources, or simply produce output in a different order. So, when can two proofs be considered the same proof? The answer lies in a topological context: the proofs of a proposition form a topological space, and the identity between proofs is itself a multi-level mathematical structure. If a homotopic path takes us from here to there, then “here” and “there” are the same point.

By extending the powerful language of algebraic topology and category theory to computer science, we have been able to implement increasingly expressive type systems, with computer languages that allow us to express arbitrarily complex properties of objects within the type system. Furthermore, we are adopting a purely structuralist approach: two formal systems are, in a mathematical sense, the same object if they are isomorphic as structures.

One of the most significant practical applications of correspondence is the formal verification of software: if writing a program means demonstrating that it has a certain type, and if that type can express arbitrarily complex properties of the program’s behavior, then it is possible to write programs whose correctness with respect to a precise formal specification is guaranteed from a mathematical point of view and not just tested empirically. In recent decades, tools have emerged that transform formal systems into concrete working environments for mathematicians. Proof assistants were created for the purpose of verifying that each step of a proof strictly adheres to the rules of the adopted formal system, whatever it may be. In order to be verified by an assistant, a mathematical proposition must be expressed in an extremely precise language in which every definition, every inferential step, and even every implicit convention is made explicit, which does not happen in proofs written by humans: the latter, in fact, generally address an audience of equally competent peers to whom it is superfluous to specify each time all the details and all the premises on which a new theorem is based. A mathematician called upon to verify the correctness of a proof of number theory, in other words, does not need to be reminded of what a natural number is, or how addition and multiplication work, or the fact that a prime number can be written as the sum of two perfect squares if and only if, when decreased by one, the result is divisible by four (this is a theorem due to Fermat). A machine, on the other hand, does not have this agility of movement in a consolidated context: everything must be formalized. To put it in the language of mathematicians, one cannot leave (the entire) proof to the reader as an exercise! This forces one to reason about what the objects being discussed really are, which properties are primitive, which notions can be derived, and which logical dependencies are actually necessary: at this point, even seemingly simple proofs become a thicket of ambiguities and tacit assumptions that ordinary mathematical language leaves in the shadows. To overcome this difficulty, code libraries are implemented that contain many “building blocks” necessary for the various more elaborate proofs, and in which the elementary concepts that the proof assistant must use to work are formalized.

Just as ontologies formalize concepts, properties, and relationships belonging to a domain of reality, proof assistants formalize definitions, theorems, and proofs. In both cases, the success of automation depends on the precision of the language used and the clarity of the primitive structures on which it is built. Before a machine can prove or deduce anything, it is necessary to decide what it is allowed to talk about.

How can and should large language models be positioned in relation to human demonstrative activity? They are not tools that decide which ideas are fruitful, nor do they suggest which conjectures deserve to be explored. Instead, once their output is checked by a person who knows what they are talking about and the vocabulary of definitions and lemmas they need to use is sufficiently rich, they can ensure that conjectures, once formulated, are developed without any violation of the rules of formal language. Within the technical and linguistic structure of the assistant, the contribution can then be that of suggesting demonstrative tactics or identifying the argumentative premises (lemmas, definitions, etc.) relevant to the specific objective, proceeding as usual as a weighted statistical convergence in a multidimensional space of previously accumulated data. As “co-pilots” of the human-machine team, they make the logical structure behind the reasoning, sometimes intuitive, of the creative part of the process understandable. Meanwhile, the leading versions of current LLMs are already capable, when appropriately guided by a competent human, of producing original, autonomous mathematical proofs, manipulating exclusively language. Their power means that part of the work of verification and mechanical search for routine tactics and necessary premises can be delegated to them, provided that they are given a good dose of structures that are already fully formalized to operate on.

A proof assistant can therefore be seen as a computer tool, as a processing mechanism that must ensure correctness without sacrificing usability, and on a mathematical level as a materialization of a foundational choice. On a linguistic-philosophical level, it is a device whose task is to translate completely into a verifiable formalism what mathematicians have always communicated through a natural language that is irreducibly elliptical and not entirely formalized, so that from this point of view, its use leads us to ask what a mathematical proof is in general, and what relationship it has with the natural language with which mathematicians usually communicate it; what relationship semantics has with syntax, in other words, and in what way, to put the discussion in a hermeneutic context, does the discourse as an event addressed to an interlocutor and supported by a shared context relate to the text as something that, fixed by writing, moves away from its author and its original situation to be interpreted by anyone, in any context.

Let’s see where our reasoning has led us so far. We have tried to understand how the actions of classifying, denoting, and formalizing articulate the relationship between thought, language, and the external world. After outlining the boundaries of the problems relevant to the context of mathematical education, and after seeing how these shift to the analogous limits of the language generated by language models, we can then ask what the poetic text has to say about these questions, because poetry is, by structural definition, even before its thematic content, the place where language ceases to be transparent with respect to what it names and shows itself as an object in itself. In particular, talking about poetic formalization implies addressing the role of metrics and prosody, which reduce language to a system of quantifiable constraints (syllables, accents, rhymes) without exhausting its meaning; which, in turn, will open the way for us to talk about intentional ambiguity, in the next chapter, and about unintentional hallucinations, in chapter 7.

Metrics, which represent the formal dimension of poetry, are where the ability of natural language to be calculated is most evident. Greek quantitative metrics, later inherited and adapted by Latin, treat the syllable as a discrete, measurable unit and organize the verse as a sequence of metrical feet governed by well-defined substitution rules. Mnemonic issues are also involved: it is easier to remember a rhythmic text, and poetry originates as an oral expression. With the dissolution of the phonological distinction between long and short vowels in the Romance languages, quantitative metrics lose their phonetic basis, and from the High Middle Ages onwards, accentual and syllabic metrics gradually develop, in which the verse is measured not by duration but by the number of syllables and the position of the tonic accents; meanwhile, rhyme, which is almost absent in classical poetry, takes on the task of indicating where the verse ends. The formal system of metrics is closely dependent on the phonological structure of the historical language in which it operates, which makes the translation of poetry an additional challenge. The Italian Renaissance saw a flourishing of treatises on metrics that aimed to codify the entire system of verses and strophic forms in the vernacular into written rules: for example, Gian Giorgio Trissino’s *Poetica* attempts to adapt Aristotelian categories and classical metrics to the new “Italian” language. It describes and, at the same time, prescribes: as often happens, a formal system arises to record existing practices, but almost always ends up guiding, retroactively, subsequent practices.

An explicitly scientific approach to metrics emerged in the 20th century with Russian formalism, for which poetic rhythm, far from being a mechanical application of an abstract metrical scheme, is seen as a dynamic, statistically measurable interaction between the ideal metrical scheme and its actual phonetic realization in each individual verse, an interaction that produces continuous, significant deviations from the scheme. We will then see how theOulipo actively constructs metrical constraints in order to, paradoxically, unleash new creative possibilities.

But what is it that transcends the metrics and makes a poetic verse meaningful? And how does this search for meaning relate to the metrical constraint, or the prosodic one? Let us step outside of Europe and go back a few centuries to find a possible first answer. Between the 8th and 9th centuries, in the literary culture of Kashmir, Ānandavardhana formulated the following thesis, accompanied by an appropriate sensory metaphor: the highest meaning of a literary work is never the meaning denoted by the words, but a further, suggested meaning that arises from the denoted meaning, just as a fragrance emanates from the flower without ever coinciding with it. This suggested meaning is called dhvani (ध्वनि), a term that literally designates the resonance of a bell that prolongs the sound beyond the strike that produced it. Ānandavardhana’s system presupposes a theory of linguistic signification articulated in three functions of the word: the direct denotative function, which links the sign to its conventional referent, and which is the function on which Western logical-formal semantics also focuses, for the most part; the indicative or transferred function, which comes into play when the literal meaning would be incongruous with the context and is therefore replaced by an affine, contiguous meaning, connected by relation, and which is, more or less, the domain of metonymy and metaphor; finally, the suggestive function, that capacity of the word to evoke a meaning that is neither the literal denotation nor a codified transfer, but a meaning that is constituted only in the act of reception by a reader or listener with appropriate aesthetic sensitivity. Dhvani manifests itself in hyperbole, but it can also do so, and is considered aesthetically superior, when the literal meaning remains present and operative, and the word, in addition, suggests something universal. One of the ways in which dhvani can function is when the speaker describes a situation completely in order to suggest to his interlocutor a series of behaviors that he does not actually mention. For example: if I want to tell my guest to stay at home for the night, I can do so by describing the heavy rain that is about to fall, and the dangers he would encounter on the dark road. The interlocutor must therefore have the ability to read the context in a similar way to the speaker.

The theory of dhvani was challenged: for the contemporary Kuntaka, the essence of poetry does not lie in a meaning beyond what is said, but rather in the very deviation of expression from ordinary linguistic usage, a deviation that affects every level of the text, from the phoneme to the composition of the entire work.

According to Ānandavardhana, the “proof” that poetry arises from the experience of an emotion that transcends words comes from a passage in Vālmīki’s Rāmāyaṇa , which we quoted at the beginning of this section: the sage, while walking along the bank of a river, witnesses the sudden death of a krauñca (a bird) struck by a hunter’s arrow while it was mating with its partner; at the lament of the surviving female, Vālmīki is overcome by such intense pain that he bursts into a metrically perfect verse. The poet plays with the similarity of the words śoka (शोकः, sorrow) and śloka (श्लोकः, poetic verse), inventing an etymology that justifies everything a posteriori (etymological creativity is a common attitude: just think of McLuhan, who connects Narcissus and narcosis, a case already mentioned in this book, or of… all of Isidore of Seville’s work on etymologies, who, under the pretext of explaining the nature of things from their name, did not hesitate to use his imagination, often based on mere phonetic coincidences). Then, the image of the Homeric Odysseus comes to mind, who is moved by the aedo of Alcinous to the point of having to narrate his own adventures, thus ceasing to be an unknown castaway and returning to the fullness of his dignity: but poetry, in any case, is the voice of those who remain eternally on an emotional threshold, torn between alien worlds.

Through the use of dhvani, a form of mimesis is practiced that maintains the mystery surrounding the fact itself, perhaps creating a myth around it that suggests causal relationships without explicitly stating them. The reader must be accustomed to proceeding through oblique interpretations, through intertextual allusions that provide them with the key to understanding reality. Poetry is essentially an impure phenomenon, grateful for its ability to be contaminated. Here, too, there are resonances (as it were) with some theories developed in Europe: Boccaccio’s theory of theintegumentum , as presented in his Genealogia deorum gentilium , according to which poetry, like myth, does not tell the truth directly, but covers it with a veil that the prepared reader must lift. Of course, here it is assumed that behind the veil there is a truth that can be paraphrased, while in dhvani, if you translate the emotion into an explicit proposition, the aesthetic experience dissolves: it is a kind of enigma without a solution. In Europe, on the other hand, the keys to understanding are abundant; just think of Tasso, who explains the Jerusalem Delivered by preceding it with his own Allegory.

The West developed concepts similar to dhvani more fully in the modern and contemporary periods, with French symbolism of the late 19th century and, in particular, with the poetics of Mallarmé. The poet’s task is not to name the object, an act that would exhaust the pleasure of progressive discovery in one fell swoop; rather, it is to evoke it little by little, allowing meaning to form through allusion. The swan, trapped in the ice of a frozen lake, now unable to take flight, which it once, it is suggested, only dreamed of without ever attempting, leads the reader of the famous sonnet to identify it with the poet paralyzed by creative sterility or by the fear of failure, without ever alluding to this directly. We find a further echo (as it were) in Ricoeur’s theory of reception, which argues that metaphor does not replace a literal meaning with a figurative meaning according to a stable code of translation, but produces, through a semantic impertinence, a new meaning, irreducible to paraphrase, which emerges from the friction between the terms put in relation: and in any case, it is a meaning that exceeds the literal meaning without ever abolishing it. And, again, we find it in the theses of Wolfgang Iser, for whom the poetic text possesses an inevitable gap that the word leaves open and that the reader is called upon to fill. Finally, we find it turned upside down in the recent trends of many television series or blockbuster films to have the characters explain, one by one, what they are doing on stage, in order to avoid the loss of the audience’s attention (consider, by contrast, the expressiveness of the unspoken and the nuances in a film like In the mood for love by Wong Kar-wai).

Meanwhile, we are approaching the enormous theme of ambiguity, which will be the subject of the next chapter, and because of which the nature of the word will become increasingly important and increasingly elusive, ready to hide itself in the plurality of codes and in the overlapping of spaces and contexts.

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For a presentation of the work, I refer you to the section with the same name, which you can find on the homepage of Sillabe.

5. Mathematics and shadows

5.1. Classifying and understanding.

We need regularity and causes; explanations, predictions, and systems to guide us through the space of our decisions. We need them to keep us alive, and they console us when we feel at the mercy of chaos. We classify, denote, and formalize.

To classify means to divide the continuity of experience into classes and to order the manifold according to concepts; to denote is the act by which a sign points to an object and designates it, while to formalize means the attempt to remove concepts and references from the fluidity of ordinary language in order to inscribe them in a system of explicit rules, in a calculation that can be manipulated independently of the meaning that its expressions carry in natural discourse. These are things that, as we have seen, would please Leibniz.

Meanwhile, we have ended up indexing everything, both for practical purposes and as a theoretical whim, even human beings and their characteristics: in this respect, our work resembles that of artificial intelligence and computers, as it consists of classifications and formalizations. We began this book by discussing the human hope that the world is, in the end, intelligible, even if encoded in a text whose language we must learn to recognize, or for which we must ourselves create the signs and grammar. We continue here: the idea that nature is a book, and even more so that it is written in mathematical characters, immediately refers us to Galileo and The Assayer, and reminds us that, according to the doctrine that derives from it, the mathematical model becomes a condition for the possibility of physical knowledge. But Galileo was not the first. In fact, the use of this metaphor, from which the legibility of the world derives, originates in the Judeo-Christian tradition. Hans Blumenberg observes that it shapes the way people conceive of knowledge, nature, God, and language. God wrote two books: Nature and the Bible, and therefore knowing nature means reading the divine calligraphy, and correctly interpreting its syntax and semantics (and, of course, making sure that God does not get angry, since he is sensitive). From this arises another, shall we say, natural series of correspondences: history is a story, and creatures are its words. A book, however, cannot be read on its own; since it needs an interpreter, the latter must be equipped with considerable and precise exegetical skills, combining knowledge with mastery of hermeneutics. And, as a matter of course, the legitimacy of interpretation will be the prerogative of the power structures that manage the relationship with the deity (which will consequently modulate its sensitivity). From Galileo onwards, however, the nature of the language in which the book is written changes: it becomes mathematical, and can be acquired by anyone who is fortunate enough to study its rules and forms. The metaphor of the book as nature is then enriched with new implementations. Knowledge becomes cumulative and collective between the 18th and 19th centuries; it grapples with the loss of intentionality of natural events starting in the 19th century, with Darwin removing all traces of teleology from the book of nature, and with the break between the writing of the text and ordinary intuition brought about by the birth of quantum mechanics in the 20th century. Linguistic metaphors, however, continue to permeate the study of nature and artifacts: the genetic code, programming languages, and even information theory are nothing more than a re-presentation of the book of nature in other guises. Language models also operate as if each of their productions were a text that can be interpreted and continued, without, however, presupposing a hidden meaning or an intentional author: in this case, the legibility of the world.

If the linguistic aspect is still fundamental, let us not forget that we also have a symbolic aspect: it is plausible to believe — and some studies on aphasia support this — that the “language” with which we think is more symbolic than verbal, and that we possess an internal logic that is more structured and precise than mere language, capable of doing without words.

Furthermore, there has always been another approach to understanding natural phenomena, based on visualization. Traditional philosophy of mathematics, influenced by logicism and formalism, has often identified mathematical reasoning with symbolic manipulation and deductive proof: yet even when we visualize concepts that we are manipulating for the purpose of understanding a proof, we are constructing a mental representation capable of highlighting mathematical relationships. In doing so, we are not reasoning about the drawing as a physical object, but rather about the abstract structure that it makes accessible, and the image functions as a perceptual support that allows us to isolate invariant relationships: which leads us to ask, for example, to what extent a system that manipulates only linguistic or symbolic sequences can achieve the type of structural understanding that also arises from visualization, and how it is appropriate to reason about the nature of mathematical understanding in artificial intelligence and the limits of even purely linguistic models. If, on the one hand, it is indeed possible to obtain linguistic abilities and considerable cognitive productivity without postulating an internal symbolic language, on the other hand, we ask ourselves what it really means to have representations with content and whether semantics is an intrinsic property of an internal state or emerges from the relationships between the system, its training, and the environment in which it operates. As we have seen, this is a field that is still full of contradictions and open problems, within which sometimes the most fruitful and sincere position is to stop for a moment and say: we do not know this.

This perspective will still be useful to us when we talk about poetic visualizations; in the meantime, let’s continue exploring the structural networks according to which we organize our understanding of the world.

The problem of classifying what exists, in a concrete or abstract sense, has led to the formulation of the concept of category. This concept has then undergone a partially divergent evolution in its philosophical and mathematical meaning: in the first case, it is roughly a matter of enumerating the most general qualities of beings, thoughts, and languages, while in the second case, we are talking about ways of organizing structures through objects and morphisms, that is, objects and relationships between objects. It is worth dwelling on the history of categories, in order to understand their role in the formalization of the matter that surrounds us and that which supports our thoughts.

From a philosophical perspective, the history of categories goes through five phases. The first is its birth with Aristotle, who created ten categories corresponding to the four traditional types of predication (definition, property, genus, and accident), and these are the most general and irreducible types of classification under which a thing can fall; the Stoic counter-proposal, which saw four supreme genera (substrate, quality, directional disposition, and relative disposition), and the attempted Neoplatonic synthesis, with Plotinus establishing that the genera are five: being, rest, movement, identity, and otherness; the interpretation of scholastic philosophy, with Boethius considering the system of predicates and, trying to define whether genera and species exist only in our mind or also in objective reality, effectively initiating the dispute about universals, proposing as a solution that universals exist in things as common properties, but are then separated in matter and thought of by the mind as abstract concepts. Then comes Kant, who reforms the Aristotelian system from the ground up: whereas Aristotle’s list was based on the intuitive inspection of types of being, Kant bases the categories on a single transcendental principle according to which “to every function of the intellect in judgments there corresponds a pure concept of the intellect,” and the categories become twelve, divided into four macro-types (quantity, quality, relation, and modality). The Kantian categories themselves are understood as mere logical predicates, empty in themselves until they are applied as predicates of phenomena provided by sensible intuition. Between the nineteenth and twentieth centuries, the Kantian transcendental system declined, to the advantage of a revival of Aristotelian ontology: for Brentano, the scheme of categories manifests itself on the grammatical-linguistic level but is ontologically founded on the variety and multiplicity that characterize the plane of real things; the logical-linguistic side of the categories therefore depends on the ontological side, and is founded on it. We also know that Meinong expanded the universe of objects to include existing, subsistent, and non-existing entities, even impossible ones, and how the philosophical investigation of abstract objects developed from there.

From a mathematical perspective, categories gained their own ontological significance in the 1940s when Samuel Eilenberg and Saunders Mac Lane, motivated by the need to separate routine manipulations from the specific content in algebraic topology, sought a precise language to describe “natural” constructions. It is an approach with a high level of abstraction, but it has the undeniable advantage of providing a systematic framework for treating mathematical aggregates as entities in their own right. In mathematics, a category is defined as a collection of objects (for example, groups or spaces) together with a class of applications called morphisms (or arrows), such that any two morphisms, where the domain of one corresponds to the codomain of the other, give rise to a unique composition. This operation must be associative, and for each object there exists an identity morphism that satisfies specific axioms.

As can be seen, on a conceptual level, the mathematical notion of “category” diverges from its philosophical use. In fact, while philosophical systems of categories often seek to classify entities or predicates within an ontology of existence, the mathematical “category” is fundamentally a theory of transformations. Philosophical categories, even today, focus on the conditions of thought or the structure of reality, while mathematical categories organize mathematical structures through objects and morphisms and are subject to rigorous foundational constraints. What remains in common is the interest in structural relationships; and, undoubtedly, the enormous—perhaps disproportionate, given its technical difficulty—philosophical interest taken in Yoneda’s lemma. Yoneda’s lemma states, in essence, that the identity of an object resides in the totality of its relationships with all other objects in a given universe, and it lends itself well to serving as a bridge between ontology and mathematical formalism. In short, to know what a given object X is, it is not necessary to “look inside” it, but rather to know every other relationship it has with all the other objects that exist in its universe. This idea appeals to structuralists: the objects of mathematics have no intrinsic properties independent of the role they occupy in a structure, according to them, and in fact, category theory has often claimed for itself the status of the natural language of structuralism, since it systematically replaces the question “what is this object?” with the question “how does this object behave in relation to all the others?”. A second line of philosophical reading, if you will, connects the lemma to Leibniz’s principle of the identity of indiscernibles, according to which two entities that share all relational properties are, in a strict sense, the same entity (unless isomorphic). Together with Gödel’s incompleteness theorems and Curry-Howard formalism, which we will examine in the next chapter, Yoneda’s lemma represents one of those cases that the philosophy of mathematics cannot afford to treat as mere technicalities and in which mathematics itself allows formalism to speak, without fear, of ontology.

Having completed this brief overview of the contemporary dual nature of the concept of category, let us return to the problem from which we started, namely that of classification. From Aristotle comes the strategy according to which classification is not an arbitrary act of the knowing subject but an adaptation to a pre-existing ontological hierarchy: outside of philosophy in the strict sense, we will find the same approach in the entire tradition of the scalae naturae and in the taxonomic systems of pre-Darwinian biology, from Linnaeus to Cuvier, which inherit the Aristotelian idea of a fixed specific essence with few modifications.

The idea that the structure of reality is already articulated into genera and species, and behaves as a structure that language merely records, is challenged by English empiricism, and in particular by John Locke, for whom classification is the work of the intellect, and is partially reabsorbed by Kant, as we have just seen, for whom the categories are a priori forms of the intellect that make experience itself possible. We have seen, in Chapter 4, how the 20th century then reopened the question with the theory of natural kinds developed in various forms by Putnam and Kripke; and we report here, for completeness, also Wittgenstein’s position, given its importance with regard to the philosophy of language. It is in the Philosophical Investigations, in fact, that we are indebted for the thesis that a large part of the concepts of human language are so blurred that their application is not governed by necessary and sufficient conditions but by a shared use, learned in practical contexts, which we call a language game. Objects can still be classified, of course, but it is not necessarily the case that each possible classification always and in any case leads to the discovery or positing of an essence: we are bound to move within a context made up of relations between speaking people who are, in turn, forced to agree on a common language.

Once the issue of classification has been introduced, and before addressing that of formalization, it is worth asking ourselves how we come to know and understand mathematical truths, with a view to comparing this process with what will happen later with the understanding of poetic texts. In short, we need to consider how a convincing proof differs from an explanatory one, which concepts deserve to be called “natural,” and in what sense a machine can be said to participate in all of this. The theme of mathematical explanation goes beyond the strict sense of the philosophy of mathematics and extends to epistemology, metaphysics, and the philosophy of science. One of the most ambitious uses made of it is as an argument in favor of Platonism: if certain mathematical explanations really work as explanations, that is, if they do not merely convince but show why a fact is the case, then we would have a reason to believe in the real existence of the objects that those explanations invoke. Or, in a more cautious way, we might have a targeted argument for realism regarding specific classes of entities. At the root of all this lies the ancient, Aristotelian distinction between proofs that answer the question of “what” something is, i.e., the fact that something is true, and proofs that answer the question of “why” it is true. A mathematician, or an entire community of mathematicians, may find a proof perfectly convincing and yet unsatisfactory because it is not explanatory, and therefore not rich enough in information: truly fruitful generalizations, on the other hand, arise from the right degree of abstraction and show the object being studied in its “natural environment.” The question of how explanation, generality, and abstraction intertwine remains open, and perhaps not entirely resolvable in the abstract, and it is a knot that recurs every time one attempts to say something substantial about mathematical explanation. Given these premises, one can then focus on the quality of the proof: it is customary for mathematicians to become attached to proofs that make use of a high degree of purity, that is, those that draw only on conceptual resources belonging to the same domain as the theorem to be proved. As a counterexample, there are dozens of different proofs of the fundamental theorem of algebra, but none that uses exclusively algebraic techniques.

Another concept is that of the naturalness of the definitions of mathematical objects on which the proof is then based; that is, when a definition identifies a concept that emerges from the intrinsic structure of the objects being studied, rather than from an arbitrary choice of representations or from the conventions that are assumed: the very foundation of category theory is based on the assertion that a mathematical construction is not truly meaningful if it depends on accidental choices, and we have seen how this involves a shift from an essentialist to a relational view of mathematics itself.

Despite all this, there remains a problem that concerns anyone who does philosophy of mathematics or science: why should theoretical virtues such as simplicity or naturalness, not to mention formal elegance, guide us in understanding how things really are? There is no a priori reason to think that objective reality is so accommodating as to conform to the peculiarities of our cognitive apparatus, and there is no universally accepted answer to those who believe that every theoretical choice based on such virtues is, in the end, merely pragmatic.

In the end (and it’s worth saying!), what does it mean to understand mathematics, and how does mathematics help us to understand? A plausible answer, which is not the only possible one, but is at least defensible, attributes understanding to the possession of certain skills: understanding something means possessing specific abilities, and the philosophical task consists in characterizing these abilities within sufficiently defined contexts. There is a difference, which we all seem to perceive, between knowing that a mathematical statement is true and understanding why it is true; and there is a further difference between being convinced that a proof is correct, carefully checking each inference, and feeling that one has truly understood it. We can verify that the proof of the existence of a continuous curve that is never differentiable is correct, but we may struggle to believe what we have just demonstrated. Logical correctness and intuitive understanding can diverge, and this is why philosophers of science commonly distinguish between the logic of justification and the logic of discovery; but the factors that guide discovery also fall, ultimately, under the heading of understanding, and discovery and understanding are often intertwined.

If mathematical understanding touches on sensitive nerves, poetic understanding is no less so. Understanding a poetic text does not, in fact, equate to understanding a prose text, because, if the understanding of a statement in prose relies, at least in the first approximation, primarily on its propositional content and its reference to the world, poetry resists attempts to paraphrase it: something is always lost, to the point that Russian formalists compared paraphrasing to heresy. Having ruled out the possibility of reducing the meaning of the poetic text to its mere “rewording,” the question then arises as to where to look for it. In the metrical structure? In the choice of words and their arrangement? In the encounter between the author’s and the reader’s intentions? And these are not even mutually exclusive hypotheses. In his schema of the functions of language, Roman Jakobson identified the poetic function as the one that orients the message towards itself: the linguistic sign, instead of being a transparent vehicle for an external referent, draws attention to its own material consistency, whether given by sound, syntax, or meter, or a combination thereof. This explains why paraphrasing impoverishes the poetic text; but, as an approach, it also has the limitation of analyzing the text as a simple object and fails to grasp its structure in a truly hermeneutic sense. This, in some ways, resembles René Thom’s thesis on the understanding of mathematics, which draws on catastrophe theory to assert the irreducibility of mathematics itself to the exactness of numerical determinations. Thom himself points out how we try to predict the continuation of the text, or the course of the future, from a series of local models.

Russian formalism, from which Jakobson also originates, had already addressed the issue from a more phenomenological angle with the concept of defamiliarization (ostranenie) developed by Viktor Shklovsky: our habit of recognizing objects and situations without seeing them anymore constitutes the main obstacle to aesthetic experience, and therefore the function of art, and poetry in particular, consists in removing the automatisms of perception. This idea shifts the focus of understanding from the text as a structured object to the reader’s perceptual process. Understanding a poem does not mean (only) correctly decoding a message, but accepting to undergo a cognitive slowdown that allows one to see what linguistic automatism had made invisible.

The American New Criticism shifts the focus decisively to the reasons within the text itself. By supporting the theories of the intentional fallacy and the affective fallacy, Wimsatt and Beardsley argue that the meaning of the text cannot be identified with either the author’s psychological intentions or the reader’s emotional reactions. Once published, the poetic text detaches itself from its creator and becomes an autonomous verbal object, the meanings of which must be sought exclusively in its internal structure: a structure in which ambiguity and paradox coexist (which will be the subject of chapter 6 in this book).

Let’s return, as we have done several times, to Gadamer and the interaction with the reader: understanding a text is an event in which the historical horizon of the text and the historical horizon of the interpreter merge. Clearly, the limit here is that it can be difficult to distinguish between understanding and productive misinterpretation: what criteria do we use to distinguish a better interpretation from a worse one, and how do we define better and worse? At this point, Ricoeur would suggest that the written text becomes, in some way, autonomous from both the author’s intention and the initial situation in which it was written, as well as from the identity and preconceptions of its original recipient, and opens itself to a plurality of readings. This brings to mind the poetic debates among the Stilnovisti poets, and the way we, eight centuries later, read their correspondence.

There is also the possibility that the text itself contains gaps, and this is, for example, Iser’s conception: it is up to the reader to actively fill them by constructing connections that the text suggests but does not explicitly state. Understanding is a dialectical process; and Umberto Eco would have essentially agreed, seeing the text as a lazy machine that requires the reader’s collaboration to be brought to life. However, this cooperation is regulated by the text, whose structure allows for the recognition of any aberrant interpretations.

Then there are those, like Barthes, who shift the entire burden of understanding onto the reader: the birth of the reader comes at the cost of the death of the Author, understood as the theological source of a single, authorized meaning of the text, and the reader is the place where the plurality of the web of quotations and cultural sources from which the text was written, through the author, is gathered.

From the perspective of text writing, in any case, the possibility emerges of treating it as something that can be calculated; and, as a result, the need arises to ask what the nature of the calculation is, and how it impacts the generation of autonomous texts produced by a machine.

And the nature of computation, in turn, concerns the mathematical structures of problems rather than the tools used to address them: it concerns, that is, understanding why some problems are inherently more difficult than others, and the criteria by which we define their difficulty.

Calculating machines, just like us when we perform a calculation, operate by applying algorithms: actual procedures composed of discrete steps that transform an input into an output. From the very first principles of theoretical computer science, we know that the Turing machine formalizes this intuition in the simplest possible way—a tape, a head, a transition table—and the Church-Turing thesis states that any reasonable notion of “effectively computable” coincides with what a Turing machine can compute. However, even from this formalization, a limit immediately emerges, and indeed, there exist well-defined problems, expressible in a few lines, for which no algorithm can exist, and the first one was even discovered by Turing himself, who realized the undecidability of the so-called halting problem: there cannot exist a general procedure that, given the code of a program and an input, decides whether the execution will terminate. The proof adopts a procedure, called diagonalization, which echoes the one used by Gödel in his incompleteness theorems, and as in that case, it establishes a logical constraint on what can be done and what is not allowed. But even beyond the boundary of undecidability, we cannot be certain about the actual decidability of a procedure: firstly, because directly solving a problem may be different from verifying a posteriori that a solution, however obtained, is correct; and secondly, because there exist decidable but computationally expensive problems, whose cost is measured in units of time or in units of memory required for the computer to complete the program. Problems can then be divided into classes of difficulty: the class P includes problems that can be solved in polynomial time with respect to the size of the input, while the class NP includes problems for which a proposed solution can be verified in polynomial time, regardless of how expensive it is to find it. (Note, in passing, the use of the metaphor that equates time and money, which we discussed in chapter 2.)

The question of whether P is equal to NP, i.e., whether verifying a solution is as easy as finding it, remains the most important open problem in theoretical computer science.

The division into classes of difficulty then makes it possible to reduce the tractability of some problems to that of others that are already known: it is shown, for example, that there exist NP-complete problems, that is, problems to which

every other problem in NP can be reduced to polynomial time. A typical NP-complete problem, and historically the first, is the so-called Boolean satisfiability (SAT) problem, which asks whether there exists a truth assignment that makes a logical formula true. Problems that appear to be very different can be reduced to this problem, ranging from finding a sequence of movements to make industrial robots move without collisions to solving Sudoku.

Now, the question that gives rise to the theory of computation, namely whether there exists a method for determining whether a given proposition is true or false, demonstrable or refutable, is the same question, posed with different tools, that the theory of language has always posed with respect to meaning. We can therefore extract the notion of decidability from its original domain and bring it to bear on natural language, and in particular on poetic language: at this point, we can establish that undecidability is, at least at a metaphorical level, a structural property that necessarily emerges as soon as a formal system reaches a certain threshold of expressiveness and self-referentiality: a kind of tribute we pay for expressive richness.

It is reasonable to agree with the thesis that natural language surpasses formal language: if, with regard to syntax, a language can be easily classified and managed by an autonomous machine, there does not exist, and for structural reasons cannot exist, an algorithm that, given a sentence and a proposed interpretation, decides in finite time whether that interpretation is “the” correct interpretation. The indeterminacy of radical translation, as discussed by Quine, and the “just more theory” objection formulated by Putnam, according to which any attempt to fix the reference of a term through further theoretical statements merely adds more interpretable language, without ever anchoring meaning to something extra-linguistic and definitive, suggest that meaning is not a decidable predicate applied to a text, but the product of a continuous negotiation.

At this point, the poetic text introduces a second level of untranslatability: if ordinary language tends, in its everyday communicative use, to minimize its own semantic indeterminacy and to behave, that is, as if reference and meaning were sufficiently fixed to allow for practical coordination, a poem deliberately maximizes indeterminacy and makes it its very essence. It is not that we are faced with a text that fails to achieve a definitive interpretation: it is a text constructed, often with great technical precision, so that that interpretation should never find a definitive resolution. This does not mean, as we have already said, that it descends into arbitrariness: the semantic productivity of ambiguity does not arise from the absence of formal constraints, but from their coexistence with semantic openness, and the author (if one exists) still leaves a trace within which the text can be received, without fixity but also without aberrations. In some extreme cases, such as certain mystical poetry, certain lyrics that approach silence, the indeterminacy of poetic language points beyond its own capacity to say, degrading towards a content that language can only indicate negatively, but nevertheless places the reader in a position to resort to a series of extra-textual codes for its partial understanding. From there on, the words are unleashed again, and they chase each other to define the absences that preceded them.

When the author is a language model, we still find a language that turns in on itself, that suspends or evades direct access to the referent, that entrusts its own good form to a system of formal constraints capable of generating well-formed text independently of any guarantee of meaning or truth. This time, however, there is no one who can offer this scene to the reader as part of a shared agreement, since the model has no intentional pole that can choose to do so.

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Questa settimana il nostro viaggio nella seconda cantica di Teoria dei Canti ci porta a esplorare i primi lidi della geometria euclidea, e lo faremo partendo da suggestioni simili a quelle che Edwin Abbott creò per il suo noto e delizioso libro Flatlandia. Se non l’avete ancora letto, fatelo: è insieme un pamphlet sociale, un apologo filosofico e un piccolo trattato di geometria intuitiva. Flatlandia è un piano abitato da figure geometriche che si muovono al suo interno senza poterne uscire né concepire un sopra o un sotto. La struttura sociale è una gerarchia rigorosamente geometrica. Le donne sono segmenti, e sono pericolose perché la loro sottigliezza le rende quasi invisibili e letali come aghi. I soldati e gli operai sono triangoli isosceli, con angoli tanto più acuti quanto più bassa è la casta. La borghesia è composta da triangoli equilateri, i professionisti sono quadrati e pentagoni, e i nobili hanno un numero di lati che cresce di generazione in generazione, fino a diventare sacerdoti circolari, per i quali il cerchio è la perfezione. La regolarità è virtù, l’irregolarità è colpa, e chi nasce con lati diseguali viene sorvegliato o soppresso. Da questo spietato ritratto euclideo della società vittoriana (e si può traslare il tutto, con opportune deformazioni ma senza strappi, anche ad altri contesti sociali, come ben capite) si passa a un acuto (!) utilizzo del ragionamento per analogia, quando il Quadrato sogna mondi al di fuori delle sue esperienze dimensionali. Uno dei grandi insegnamenti del libro è che nessuna conoscenza è definitiva, e chi ha vinto un pregiudizio è il primo a rischiare di trasformarlo in dogma.

Questo è lo spirito con cui si fanno le cose in Sillabe, newsletter che tiene insieme le forme chiuse della metrica italiana e argomenti vari di matematica, scienza, epistemologia, filosofia del linguaggio. Ogni venerdì potete trovare le puntate dedicate a Teoria dei Canti, libro che nella sua interezza potete reperire

qui in cartaceo
e qui in ebook.

Sillabe ha poi anche delle rubriche: quella sui libri, una volta al mese, è Archivio del comodino, e ogni mercoledì fino alla fine dell’anno (o giù di lì) troveremo a farci compagnia anche Codici e versi, sui rapporti fra la parola poetica e il vasto mondo dei modelli linguistici di grandi dimensioni. Tutto ciò è gratis, ma se volete abbonarvi, oltre a darmi una mano a sostenere fisicamente il progetto, avete accesso integrale anche alle tre rubriche dedicate, che sono Cronache metriche del dopo, coi suoi racconti di scienza e fantascienza in endecasillabi, Il verso delle cose, con i suoi articoli di taglio letterario e scientifico, e la miscellanea poetica e umana di Note in controtempo. Una (piccola) parte di quello che ricavo dall’abbonamento viene devoluto da Stripe all’implementazione di tecnologie per la decarbonizzazione. Il resto viene investito nel mio caffè al bar di metà mattina.

Teoria dei canti

Mi sdraio sul terreno. Qui mi schiaccio
a farmi pasta fina con il suolo
e lento viene il fiato e guardo e giaccio, 3

quasi che fosse monco o preso a nolo
il senso di spessore. A ben guardare
non v’è più cielo o fondo, e sento solo 6

strisciare intorno a me, o scivolare,
piatte figure e pur me fra le tante.
Solco uno scomodo, livido mare, 9

un pavimento eterno illuminante
e tutto illuminato; mi ricordo
che altrove più non vedo. Inebriante 12

sento attorno tastando per il bordo
quel che s’appressa dal tremulo mondo,
e d’altre altezze giace muto e sordo; 15

a me si fa vicino un grande tondo,
un chierico si dice, un acre saggio
che parla piatto eppure dal profondo 18

d’un logico immutabile linguaggio
ch’è gioco metaforico totale.

Come avevamo già anticipato nella puntata della settimana scorsa, la geometria nasce come tecnica, e diventa una sistematizzazione del sapere solo in un secondo momento. Per quanto ci riguarda, dobbiamo agli Elementi di Euclide tanto una serie di contenuti geometrici quanto, soprattutto, il metodo per provarne la generalità, e per stabilirne la solidità logica. Siamo tuttora debitori del suo metodo assiomatico, del fatto cioè di ragionare a partire da definizioni, regole di inferenza e assiomi. Il metodo ha meriti enormi e limiti che solo l’Ottocento renderà evidenti. Euclide usa spesso, senza dichiararli, argomenti basati sui disegni delle figure, per esempio assume che due cerchi che «sembrano» intersecarsi lo facciano davvero, o che una retta entrata in un triangolo debba uscirne. Secondo i canoni d’oggi, mancano gli assiomi dell’ordine e della continuità. Furono infatti Moritz Pasch e soprattutto David Hilbert alla fine del XIX secolo a fornire un sistema completo, articolato in gruppi di assiomi suddivisi secondo categorie opportune: incidenza, ordine, congruenza, parallelismo e continuità. Hilbert, si racconta, sosteneva che al posto di punti, rette e piani si potrebbero usare tavoli, sedie e boccali di birra, dal momento che la geometria è struttura, non figura. Poi anche Hilbert ebbe i suoi grattacapi formali, ma non è questo il momento di ricordarlo: c’entra Gödel, ne abbiamo già parlato altrove e lo rifaremo in futuro.

Sappiamo anche, oggi, che la geometria euclidea non è più la geometria, ma una geometria, nel senso che ne esistono altre, adatte a superfici non piatte, che mantengono lo stesso rigore dimostrativo. Nel nostro contesto piatto e tranquillo, comunque, come degli agili e bidimensionali abitanti di Flatlandia, vivono gli stessi soggetti che Euclide aveva ben definito e catalogato, e le cui proprietà aveva con eleganza compreso e dimostrato. I poligoni, per esempio: un poligono è una figura piana delimitata da una linea spezzata chiusa. Si dice regolare se i suoi lati e i suoi angoli sono tutti uguali. Alcuni di essi si possono costruire con riga e compasso: Euclide stesso si era occupato di farlo per il triangolo equilatero, il quadrato, il pentagono, l’esagono e il pentadecagono, e per svariati secoli si pensò che la lista fosse chiusa lì. Poi arrivò il solito Gauss, all’epoca poco più che fanciullo, e dimostrò che si poteva fare anche per il poligono regolare di diciassette lati, stabilendo una condizione sufficiente che qualche anno dopo un altro matematico, Wantzel, dimostrò essere anche necessaria. Il tutto si riassume in un teorema (di Gauss-Wantzel, appunto) dice che un n-gono regolare è costruibile con riga e compasso se e solo se n è il prodotto di una potenza di 2 per primi di Fermat distinti. Ora, un primo di Fermat è un particolare numero primo della forma

dove k è un numero naturale, zero incluso. Non tutti i numeri di quella forma sono primi: quelli noti sono, al momento, 3,5,17,257 e 65537. Sì, anche i poligoni regolari di 257 o 65537 lati possono essere costruiti con riga e compasso: se non avete niente da fare nel fine settimana e avete un foglio grande, chi sono io per dirvi come passare il tempo?

La cosa più interessante, secondo me, è che in questo caso stiamo vedendo all’opera l’incontro fruttuoso tra due parti apparentemente distanti della matematica: abbiamo un risultato in cui la teoria dei campi e delle estensioni, cioè l’algebra, decide un problema che la geometria posta da Euclide non poteva risolvere.

Euclide si era occupato anche di equivalenze. Per esempio, aveva sancito che l’equivalenza delle aree si esprime come scomposizione e ricomposizione. La matematica ottocentesca ha dimostrato che due poligoni piani di uguale area sono sempre equiscomponibili. Il che non vale, però, se dal piano ci spostiamo nello spazio, e se al posto dei poligoni consideriamo i poliedri: faceva bene il protagonista di Flatlandia a preoccuparsi.

E pare un risuonare d’altre note,
trascritte da un antico pentagramma 75

da forme regolari e men remote
che fece un dì Platone in cinque modi,
e più di cinque mai saranno note; 78

ché la dimostrazione, senza frodi,
la disse intatta Euclide, e d’Elementi
ancor da noi si cantano le lodi, 81

fin da che Proclo riassunse gl’intenti
del Libro; ch’è, notissimo trattato,
in tredici volumi d’argomenti. 84

Nei primi sei tra i volumi s’è dato
parlar di geometria detta piatta,
per quanto può venire calcolato 87

con riga ed un compasso e mano adatta.
Si parla dei triangoli: l’essenza
che vuole farli uguali e di tal schiatta, 90

qual è lì nello spazio conseguenza
dell’esser parallelo, quindi infine
qual è tra le figure equivalenza. 93

Un poliedro è un solido limitato da facce poligonali. Un poliedro convesso, cioè tale per cui il segmento che unisce due punti qualsiasi sta sempre all’interno del solido, è regolare se le sue facce sono poligoni regolari congruenti e in ogni vertice ne concorre lo stesso numero. I poliedri convessi sono solo cinque, e questo lo si sapeva fin dall’antichità: i cosiddetti solidi platonici, ovverosia il tetraedro, il cubo, l’ottaedro, il dodecaedro e l’icosaedro, che Platone nel Timeo aveva posto in corrispondenza ai quattro elementi e al cosmo (il dodecaedro). Vale poi, per i poliedri, una importantissima formula, dovuta a Eulero (va così, nella matematica: se non c’è di mezzo Gauss, c’è Eulero…) e che lega tra di loro il numero di vertici (V), spigoli (S( e facce (F). Per ogni poliedro convesso vale infatti

Questa relazione segna il passaggio dalla geometria metrica a quella topologica: il numero non dipende dalle lunghezze, ma solo dal modo in cui le parti sono connesse. La sua generalizzazione, la caratteristica di Eulero–Poincaré, distingue le superfici per genere, ossia, grossolanamente, per numero e qualità di buchi.

Si quadrano poligoni; confine
del cerchio si lambisce, così come
le sue proprietà; di qui vicine 96

le proporzioni e quindi, per il nome,
definizioni sottili e concise
si tengono ben salde e mai son dome. 99

La prossima settimana concluderemo il canto mostrando una cosa matematicamente interessante e artisticamente gradevole che si può fare con i poligoni, che serve se dovete rifare i pavimenti di bagno e cucina e che oltretutto vi torna utile se la vostra religione vi impedisce di rappresentare figure umane e vi garba lo stesso di decorare gli edifici: tassellare il piano. E parleremo, anche, di come e quanto si è cercato di estendere il metodo geometrico al di fuori dai confini della matematica vera e propria.

Chiudiamo con alcune considerazioni di carattere… dimensionale. L’intuizione geometrica umana è eccellente in due e tre dimensioni per ragioni che hanno a che fare con la nostra biologia: ci muoviamo in spazi siffatti, e in prima approssimazione anche piatti. Per Kant lo spazio era la forma dell’intuizione esterna, vale a dire che era una struttura che la mente porta con sé nell’esperienza e che rende possibile la geometria come scienza sintetica a priori, cioè universale e necessaria pur non essendo un’analisi di concetti; e la geometria di riferimento era ovviamente quella euclidea, tridimensionale, il che spiega lo scandalo concettuale introdotto dalla scoperta che esistevano modi coerenti di geometrizzare lo spazio senza supporre che fosse privo di curvatura. Biologicamente, siamo fatti “abbastanza” così, almeno per quanto ci dicono le scienze cognitive: esistono sistemi di conoscenza geometrica di base, presenti in bambini piccoli e in popolazioni senza istruzione formale, che ci permettono di maneggiare punti, rette e piani, angoli e nozioni di parallelismo. Nei pipistrelli la rappresentazione mentale dell’ambiente è tridimensionale: come aveva intuito perfettamente Abbott, per una specie che vive su una superficie la sensibilità al piano è prioritaria e quella al volume rimane invece almeno in parte secondaria. La retina è una superficie: la profondità è inferita, a partire da disparità binoculare, parallasse di moto, occlusioni e prospettiva.

Ma nulla vieta, ovviamente, di costruire oggetti geometrici in dimensioni maggiori di tre (e anche cercare di dipingerli, se siamo Dalì alle prese con un Crocifisso; o di descriverli a parole, se siamo Dante col Paradiso; non sto qui a suggerivi esperienze con sostanze illecite variamente allucinogene, visto che già avete il week end impegnato a costruire poligoni regolari di 65537 lati con riga e compasso). Come si fa a salire di dimensione? La storia della geometria delle dimensioni superiori mostra quattro strumenti, tutti sostituti del vedere: si possono usare infatti sezioni, proiezioni, analogie e, ultima ma fondamentale, l’algebra.

Ma, a ben vedere (!), anche la nozione di dimensione non è che sia poi tanto ben chiara: pensiamo di averne una nozione intuitivamente stabile, ma se approfondiamo l’analisi le cose si complicano un po’. Se consideriamo gli spazi come spazi vettoriali, la dimensione è il numero di elementi di una base: indicativamente, il numero di coordinate che ci serve per descrivere un punto nello spazio in questione. Il guaio è che poi ci mettiamo a pensare a che cosa sia la dimensione anche senza disporre di spazi con una struttura lineare. Nel 1877 Cantor scrisse a Dedekind di aver dimostrato che esiste una corrispondenza biunivoca tra il segmento e il quadrato, e si disse sorpreso dal proprio stesso risultato. Nel 1890 Peano costruì una curva continua che riempie il quadrato. Se la dimensione fosse una questione di cardinalità, o di parametri continui, la nozione vacillerebbe alquanto, stanti esempi paradossali del genere! Di qui si sviluppano approcci diversi. Poincaré, per esempio, propose una definizione induttiva: un continuo ha dimensione n se lo si può separare tagliandolo lungo insiemi di dimensione n − 1. Un punto taglia la retta, una curva taglia il piano, una superficie taglia lo spazio, e così via a salire. Lebesgue introdusse la dimensione di ricoprimento, per cui sostanzialmente per misurare uno spazio si cerca di ricoprirlo con opportuni iper-rettangoli e si prende poi il limite inferiore del volume da essi generato. Haussdorf, verso la fine degli anni Dieci del XX secolo, si rese conto che un oggetto può anche avere una dimensione metrica frazionaria, concetto poi ripreso da Mandelbrot nello studio dei frattali.

Nascono poi una serie di questioni topologiche, fisiche e geometriche che danno luogo ad accadimenti paradossali (tanto per cambiare!) e a nuovi filoni di ricerca sull’ottimizzazione della disposizione degli oggetti nello spazio.Ma ci siamo spinti un po’ troppo in là, e quindi ci fermiamo.

È dunque il tempo di un sonetto inedito, con cui torniamo a Flatlandia.

I sogni più segreti di un quadrato
son fatti dentro nuove dimensioni.
Giacché si, sa, le me vecchie ragioni
di stare qui racchiuso d’ogni lato

m’hanno sfinito; direi, sì, schiacciato
sul piano, senza avere condizioni
d’essere altro da me; le stagioni
addosso, d’anni che m’hanno annoiato,

e reso piatto più di quanto voglia,
o possa, lo confesso, sopportare.
Dolce e dovuto, quest’ultimo strazio:

d’essere colto per limite o soglia
di quel che si può sopra misurare,
che io m’invento essere lo spazio.

Grazie per aver letto Sillabe, e a presto!

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Questa è una puntata di Codici e versi.

Per una presentazione dell’opera, rimando all’omonima sezione che potete trovare nella homepage di Sillabe.

5. La matematica e le ombre

5.2. Formalizzare e ricreare

पादबद्धोऽक्षरसमस्तन्त्रीलयसमन्वितः |
शोकार्तस्य प्रवृत्तो मे श्लोको भवतु नान्यथा || १-२-१८

Mentre ero tormentato dal dolore, scaturì da me una frase di quattro versi con un numero uguale di sillabe, che poteva essere cantata e suonata con uno strumento a corda; che diventi una poesia e nient’altro.

(Vālmīki, Rāmāyaṇa; Balakanda, 2.18)

Dopo aver proceduto a denotare e a classificare, vediamo ora come sia possibile relazionarsi al problema di formalizzare il linguaggio: ci sarà utile per muoverci sia nell’ambito della delega alle intelligenze artificiali delle dimostrazioni matematiche sia fra le domande che la generazione statistica e automatica di testi poetici inevitabilmente pone.

Abbiamo visto in precedenza che il progetto di sottrarre il pensiero all’ambiguità del linguaggio naturale mediante un sistema di segni artificiali risale almeno a Leibniz, che immaginò una characteristica universalis, cioè una sorta di alfabeto dei pensieri umani capace di rappresentare ogni concetto semplice mediante un simbolo univoco e ogni concetto complesso mediante la combinazione dei simboli semplici. Questo alfabeto andava poi accoppiato a un calculus ratiocinator che permettesse di risolvere le controversie filosofiche non più con la discussione retorica ma con il calcolo. Per mancanze tecniche e concettuali il sogno di Leibniz rimarrà tale per un paio di secoli, ma già sul finire dell’Ottocento le cose cominciano a cambiare. Nel 1879 Frege mette in opera il primo sistema di logica dei predicati con quantificatori, con cui intende rappresentare in modo rigoroso la struttura inferenziale degli enunciati abitualmente gestiti dalla logica aristotelica, compresi quelli ove la logica aristotelica si arenava. L’obiettivo era dimostrare che l’intera aritmetica potesse essere derivata da leggi puramente logiche, senza alcun ricorso all’intuizione spaziale o temporale kantiana: il progetto naufragò quando Russell scoprì nel sistema di Frege un’antinomia, vale a dire la difficoltà di trattare l’insieme di tutti gli insiemi che non contengono sé stessi come elemento.

Di pari passo, a questo approccio logicista si affiancava quello formalista di Hilbert, che mirava ad assiomatizzare ogni teoria matematica in un sistema formale finito di simboli e regole di trasformazione puramente sintattiche, e a dimostrare, con metodi finitisti, che tali sistemi erano coerenti e completi. Anche qui sappiamo che le cose non andarono bene: ogni sistema formale coerente sufficientemente potente da rappresentare l’aritmetica elementare contiene enunciati veri che non sono dimostrabili all’interno del sistema stesso e un tale sistema non può nemmeno dimostrare la propria coerenza usando solo i propri mezzi. Una volta che Gödel ebbe dimostrato ciò, si scoprì quindi che nessun sistema formale può essere, allo stesso tempo, sufficientemente espressivo, coerente e completo, e che la formalizzazione ha dei limiti strutturali interni che ne minano l’universalità. Il problema della formalizzazione però non è passato di moda: si continua a formalizzare, tanto e bene, e i modi in cui lo si fa impattano sulle nostre possibilità di interagire con le macchine calcolatrici. Ci torneremo presto; ma intanto, a proposito di dimostrazioni, sarà bene occuparci anche di quelle, e di vedere come sfociano nella computabilità.

La fine dell’Ottocento e l’inizio del Novecento avevano portato con sé anche altre crisi matematiche, e furono vere e proprie crisi dei fondamenti. La prima era arrivata con la scoperta delle geometrie non euclidee, la cui solidità concettuale aveva portato a ridefinire cosa si intendesse per assioma; il secondo evento fu l’aritmetizzazione dell’analisi, il programma condotto da Cauchy, Bolzano, Weierstrass e Dedekind per liberare il calcolo infinitesimale dalle nozioni intuitive e talvolta contraddittorie di infinitesimo, sostituendole prima con la definizione rigorosa di limite e infine con costruzioni puramente aritmetiche dei numeri reali. L’obiettivo, esplicitamente dichiarato, era ridurre l’intera analisi matematica all’aritmetica dei numeri naturali, secondo il motto di Kronecker per cui i numeri interi sarebbero stati fatti da Dio, mentre tutto il resto sarebbe opera dell’uomo. Non bastasse ciò, arrivò la teoria degli insiemi di Georg Cantor che introdusse una gerarchia rigorosa di infiniti attuali (i numeri cardinali e ordinali transfiniti) e fornì così, paradossalmente, lo strumento tecnico per realizzare il programma di riduzione aritmetica: ma lo fece al prezzo di ammettere un universo di totalità infinite la cui coerenza logica era tutt’altro che garantita. Fu proprio all’interno di questo universo insiemistico che emersero i primi paradossi: ivi incluso, come abbiamo appena visto, quello di Russell relativo all’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a sé stessi.

Alle risposte logiciste e formaliste si unì, e anche questo l’abbiamo visto nei capitoli precedenti, l’approccio intuizionista e costruttivista.

La teoria della computabilità, a partire dagli anni Trenta, avrebbe portato alla formulazione dell’idea di macchina di Turing e della sua capacità di gestire ciò che può essere dimostrato in tempi finiti, o di dimostrare che esistono problemi non decidibili; un approccio equivalente venne dal lambda calcolo di Church, un sistema formale che esamina la definizione e l’applicazione delle funzioni, e che costituisce la base teorica della programmazione funzionale e dei moderni linguaggi basati su di essa. Abbiamo così una spiegazione matematicamente precisa e universalmente accettata dell’intuizione informale di algoritmo.

Torniamo per un attimo alla crisi dei fondamenti. Se vogliamo fondare la matematica in maniera coerente e stabile dobbiamo domandarci, fra le altre cose, di che cosa parlano gli enunciati matematici, e con quali regole primitive li si può costruire e giustificare. Storicamente, vennero date due risposte. La prima fu la teoria assiomatica degli insiemi di Zermelo e Fraenkel, che partiva dalle collezioni infinite di Cantor e dall’idea rivoluzionaria che esistessero infiniti diversi che potevano essere confrontati in termini di cardinalità, e che portava a una serie di paradossi dovuti alla definizione ingenua di insieme, vicina a quella intuitiva di raccolta. La strada intrapresa da Zermelo e Fraenkel prevedeva di disciplinare questa idea intuitiva. Innanzitutto, non è vero che ogni proprietà definisce un insieme! Gli insiemi devono soddisfare degli assiomi, o meglio, uno schema di assiomi, che garantiscano per esempio che le nostre definizioni di insieme, di infinito, di unione o di separabilità abbiano coerenza logica. A questi assiomi se ne aggiunge tradizionalmente un altro, detto assioma della scelta, secondo cui per ogni famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento, e tutti insieme costituiscono la base per tutta la formulazione della matematica moderna.

L’assioma della scelta fu oggetto di moltissime controversie, tra l’altro perché la sua adozione comportava l’esistenza di oggetti controintuitivi, dando per esempio la possibilità di costruire, da una sfera tridimensionale scomposta in infiniti pezzi, due sfere uguali a quella di partenza (il fenomeno è noto come paradosso di Banach-Tarski). Piace anche poco a chi non ama il principio del terzo escluso, perché l’accettazione dell’assioma della scelta implica la validità di quest’ultimo. Tuttavia, il suo successo è tale che viene generalmente ammesso senza troppi mugugni.

Nel quadro assiomatico della teoria degli insiemi, tutta la matematica viene codificata come insiemi: numeri, funzioni, spazi, strutture, hanno una loro definizione in termini di insiemi. In altre parole, un solo tipo di oggetto, l’insieme, e un solo tipo di relazione, l’appartenenza, bastano in linea di principio a codificare l’intero edificio matematico. Il costo di questa impostazione sta nell’arbitrarietà delle codifiche, per cui la codifica insiemistica sovradetermina la struttura di cui si occupa in quel momento. È un problema analogo a quello di certe teorie fisiche equivalenti che spiegano correttamente uno stesso fenomeno; ma si tratta di questioni epistemologiche ben al di là di quelle di cui possiamo occuparci in questa sede.

Diversamente dalla teoria degli insiemi si pone invece la teoria dei tipi, che pure nasce dalla stessa crisi dei fondamenti: Russell, colpito dal paradosso che oggi porta il suo nome, non corresse la nozione di insieme dall’esterno mediante assiomi che ne limitavano la formazione, ma la sostituì con una gerarchia di livelli sintatticamente distinti. Esistono così gli oggetti al livello 0, gli insiemi di oggetti al livello 1, gli insiemi di insiemi al livello 2, e così via. Dal momento che è formalmente vietato che un’entità faccia parte di una classe che si trova al suo stesso livello o a un livello inferiore, si blocca il pericolo dell’autoreferenzialità, e un enunciato paradossale come “x appartiene a x” diventa così privo di senso.

Su queste basi gerarchiche Church fondò la teoria dei tipi usando il lambda-calcolo, e creando il cosiddetto lambda-calcolo tipato semplice. Funziona così: esistono due tipi primitivi, gli individui (gli oggetti matematici) e le proposizioni (i valori di verità, vero o falso), e a partire da questi tipi si costruiscono i tipi funzionali mediante l’operatore freccia. Ogni termine del lambda calcolo deve dichiarare rigidamente il proprio tipo, e in questo modo, utilizzando solo le funzioni, si può ricostruire l’intera matematica: i numeri sono funzioni, le operazioni sono manipolazioni di funzioni, eccetera.

Perché è importante tutto ciò? Perché possiamo avvalerci di una interpretazione insiemistica, e dimostrare che la teoria dei tipi è equivalente a quella degli insiemi, ma anche perché i tipi possono essere visti come parte di un linguaggio di programmazione, in una interpretazione cioè computazionale; oppure perché possiamo pensare che i tipi rappresentino proposizioni e i loro termini codifiche di dimostrazioni, sicché la teoria dei tipi diventa un calcolo logico.

Dall’incontro fra la logica matematica e l’informatica è nato un ulteriore sviluppo di questo problema, quello delle ontologie formali. Come sappiamo, il termine ontologia designa tradizionalmente lo studio di ciò che esiste e delle categorie fondamentali dell’essere; in informatica assume però un significato più operativo. Una ontologia formale è una descrizione esplicita e rigorosa delle entità che appartengono a un determinato dominio, delle relazioni che possono intercorrere fra esse e delle regole che ne disciplinano il comportamento. Senza pretendere di stabilire che cosa esista davvero, si limita a stabilire quali oggetti un sistema informatico debba assumere come primitivi per poter ragionare in maniera coerente. Un processo di formalizzazione implica sempre, in realtà, una scelta ontologica: prima ancora di stabilire le regole di inferenza, occorre decidere quali oggetti possano comparire nel linguaggio, quali proprietà possano essere loro attribuite e quali relazioni siano considerate significative. Stiamo traducendo la domanda filosofica sull’esistenza nel suo analogo computazionale “di quali oggetti il sistema è autorizzato a parlare?”

Le ontologie formali possono essere considerate una realizzazione contemporanea, seppure circoscritta, del progetto leibniziano della characteristica universalis. Anche qui si costruisce un linguaggio artificiale nel quale ogni termine possiede un significato rigorosamente determinato e ogni inferenza è affidata a regole di calcolo anziché all’interpretazione soggettiva. La differenza è che, invece di aspirare a rappresentare l’intero sapere umano, le ontologie moderne descrivono domini specifici e ben delimitati, dai sistemi biologici alle reti informatiche; è comunque un modo di affrontare di nuovo il problema della rappresentazione della conoscenza e di portarlo verso quello della formalizzazione matematica.

Riprendiamo ora in mano una vecchia faccenda, quella dell’esistenza degli oggetti, che ci ha angustiati nel capitolo 4. Vediamola da un punto di vista matematico e ricordiamo i due approcci diversi: per il matematico classico, un oggetto matematico esiste se la sua non esistenza è contraddittoria; una proposizione è vera o falsa indipendentemente dal fatto che noi possediamo una prova dell’uno o dell’altro caso. Ci facciamo forza sul principio del terzo escluso. Per un intuizionista, viceversa, l’esistenza di un oggetto matematico non precede, ma coincide con la sua costruzione effettiva, e il significato di una proposizione è inseparabile dal metodo per verificarla.

Partendo da questo punto di vista, è allora possibile formulare una semantica alternativa alla classica logica proposizionale, in cui il significato di ogni connettivo logico è definito in termini di operazioni costruttive sulle prove. Tale semantica è detta di Brouwer-Heyting-Kolmogorov e trasforma le dimostrazioni logiche in oggetti computazionali: per esempio, una dimostrazione di A → B è una procedura effettiva che trasforma qualsiasi dimostrazione di A in una dimostrazione di B. Arrivati a questo punto possiamo costruire (!) un dizionario che metta in corrispondenza termine a termine i concetti chiave della logica intuizionista e quelli del lambda-calcolo tipato. Il risultato si chiama corrispondenza di Curry-Howard. Abbiamo così un modo per trasformare la dimostrazione in un oggetto dinamico e computazionale, perché essa non si limita ad attestare che una proposizione è vera, ma contiene una procedura effettiva per costruire gli oggetti matematici di cui la proposizione afferma l’esistenza. Ma c’è di più. L’identità tra due prove della stessa proposizione, ossia due termini dello stesso tipo, può essere interpretata da un punto di vista topologico, cioè come un cammino nello spazio (omotopico) dei tipi: se due strutture matematiche sono in corrispondenza biunivoca che preserva la struttura, allora esse sono lo stesso oggetto.

Qui arriva però un problema filosofico, che nasce proprio dall’identità delle dimostrazioni. Due prove diverse della stessa proposizione sono, logicamente, intercambiabili: entrambe stabiliscono la verità della stessa conclusione. Ma nell’ottica di Curry-Howard, due programmi diversi dello stesso tipo non sono affatto intercambiabili come oggetti computazionali: possono avere complessità temporale diversa, usare risorse diverse, o semplicemente produrre output in ordine diverso. Quand’è allora che due prove possono essere considerate la stessa prova? Alla domanda si risponde da un contesto topologico: le prove di una proposizione formano uno spazio topologico, e l’identità tra prove è essa stessa una struttura matematica a più livelli. Se un cammino omotopico ci porta da qui a lì, allora “qui” e lì” sono lo stesso punto.

Con la possibilità di trasferire nell’informatica il potente linguaggio della topologia algebrica e della teoria delle categorie, siamo così arrivati a implementare sistemi di tipi sempre più espressivi, con linguaggi informatici che permettono di esprimere proprietà arbitrariamente complesse degli oggetti nel sistema dei tipi. E, anche, stiamo adottando un approccio prettamente strutturalista: due sistemi formali sono, in senso matematico, lo stesso oggetto se sono isomorfi come strutture.

Una delle applicazioni pratiche più significative della corrispondenza è la verifica formale del software: se scrivere un programma è dimostrare che esso ha un certo tipo, e se quel tipo può esprimere proprietà arbitrariamente complesse del comportamento del programma, allora è possibile scrivere programmi la cui correttezza rispetto a una specifica formale precisa è garantita dal punto di vista matematico e non solo testata in via empirica. gli ultimi decenni hanno visto nascere strumenti che trasformano i sistemi formali in ambienti di lavoro concreti per i matematici. I proof assistant, o assistenti alla dimostrazione, sono stati costruiti allo scopo di verificare che ogni passaggio di una dimostrazione rispetti rigorosamente le regole del sistema formale adottato, qualsiasi esso sia. Per poter essere verificata da un assistente, una proposizione matematica deve essere espressa in un linguaggio estremamente preciso nel quale ogni definizione, ogni passaggio inferenziale e perfino ogni convenzione implicita siano resi espliciti, cosa che non accade nelle dimostrazioni scritte da esseri umani: questi ultimi, infatti, si rivolgono in genere a un pubblico di pari competenti a cui è superfluo specificare volta per volta tutti i dettagli e tutte le premesse su cui un nuovo teorema si basa. Un matematico chiamato a verificare la correttezza di una dimostrazione di teoria dei numeri, in altre parole, non ha bisogno che gli si ricordi cos’è un numero naturale, o come funzionano somma e prodotto, o il fatto che un numero primo si può scrivere come somma di due quadrati perfetti se e solo se, diminuendolo di uno, il risultato è divisibile per quattro (è un teorema dovuto a Fermat). Una macchina, invece, non ha questa agilità di movimento in un contesto consolidato: ogni cosa va formalizzata. Per dirla alla maniera dei matematici, non si può lasciare (tutta) la dimostrazione al lettore come esercizio! Il che costringe a ragionare su quali siano davvero gli oggetti di cui si parla, quali proprietà siano primitive, quali nozioni possano essere derivate e quali dipendenze logiche siano realmente necessarie: a questo punto anche dimostrazioni apparentemente semplici diventano un ginepraio di ambiguità e assunzioni tacite che il linguaggio matematico ordinario lascia nell’ombra. Per ovviare a questa difficoltà, vengono implementate delle librerie di codice che contengono tanti “mattoncini” necessari alle varie dimostrazioni più elaborate, e in cui vengono formalizzati i concetti elementari di cui l’assistente alla dimostrazione deve servirsi per lavorare1.

Così come le ontologie formalizzano concetti, proprietà e relazioni appartenenti a un dominio della realtà, gli assistenti di prova formalizzano definizioni, teoremi e dimostrazioni. In entrambi i casi il successo dell’automazione dipende dalla precisione del linguaggio adottato e dalla chiarezza delle strutture primitive su cui è costruito. Prima ancora che una macchina possa dimostrare o dedurre qualcosa, bisogna infatti decidere di che cosa le sia consentito parlare.

In che modo i grandi modelli linguistici possono e devono essere collocati rispetto all’attività dimostrativa umana? Non sono strumenti che decidono quali idee siano feconde, né suggeriscono quali congetture meritino di essere esplorate. In compenso, una volta che il loro output sia controllato da una persona che sa di cosa si sta parlando e che il vocabolario di definizioni e lemmi di cui devono fare uso sia abbastanza ricco, sono in grado di assicurare che le congetture, una volta formulate, vengano sviluppate senza alcuna violazione delle regole del linguaggio formale. Dentro alla struttura tecnica e linguistica dell’assistente, il contributo può essere allora quello del suggerimento di tattiche dimostrative o quello di individuare le premesse argomentative (lemmi, definizioni, eccetera) pertinenti all’obiettivo specifico, procedendo al solito come convergenza statistica pesata in mezzo a uno spazio multidimensionale di dati accumulati in precedenza. In qualità di “copiloti” del team uomo-macchina, rendono comprensibile la struttura logica che sta dietro al ragionamento, talora intuitivo, della parte creativa del processo. Nel frattempo, le versioni di punta degli attuali LLM sono già in grado, opportunamente indirizzate da un umano competente, di produrre dimostrazioni matematiche originali autonome, manipolando esclusivamente il linguaggio. La loro potenza fa sì che si possa delegare loro parte del lavoro di verifica e di ricerca meccanica di tattiche di routine e di premesse necessarie, a patto di aver loro fornito una buona dose di strutture già pienamente formalizzate su cui operare.

Un assistente alla dimostrazione può dunque essere visto come strumento informatico, come un meccanismo di elaborazione che deve garantire correttezza senza sacrificare l’usabilità, e sul piano matematico come materializzazione di una scelta fondazionale. Sul piano linguistico-filosofico, è un dispositivo che ha il compito di tradurre integralmente in un formalismo verificabile ciò che i matematici hanno sempre comunicato attraverso un linguaggio naturale irriducibilmente ellittico e non del tutto formalizzato, sicché da questo punto di vista il suo impiego ci porta a domandarci cosa sia in generale, una dimostrazione matematica, e in che rapporto essa stia con il linguaggio naturale con cui i matematici la comunicano abitualmente; in che rapporto stia la semantica con la sintassi, detto altrimenti, e in che modo, per mettere il discorso in un contesto ermeneutico, il discorso come evento rivolto a un interlocutore e sorretto da un contesto condiviso si ponga nei confronti testo come ciò che, fissato dalla scrittura, si allontana dal proprio autore e dalla propria situazione d’origine per essere interpretato da chiunque, in qualunque contesto.

Vediamo dove ci ha portati il ragionamento fin qui. Abbiamo cercato di capire come le azioni di classificare, denotare e formalizzare articolino il rapporto tra pensiero, linguaggio e mondo esterno. Dopo aver tracciato in linea di massima i confini dei problemi pertinenti al contesto della formazione matematica, e dopo aver visto in che modo essi si spostino sugli analoghi limiti del linguaggio generato dai modelli linguistici, possiamo allora chiederci cos’abbia da dire su queste domande il testo poetico, perché la poesia è, per definizione strutturale prima ancora che tematica, il luogo in cui il linguaggio smette di essere trasparente rispetto a ciò che nomina e si mostra come oggetto a sé. In particolare, parlare di formalizzazione poetica implica occuparsi del ruolo di di metrica e prosodia, che riducono il linguaggio a un sistema di vincoli quantificabili (sillabe, accenti, rime) senza per questo esaurirne il senso; il che, a sua volta, ci aprirà la strada per parlare di ambiguità voluta, nel prossimo capitolo, e di allucinazioni non volute, nel capitolo 7.

La metrica, che è la dimensione formale della poesia, è il luogo in cui meglio si vede la capacità del linguaggio naturale di essere calcolato. La metrica quantitativa greca, poi ereditata e adattata dal latino, tratta la sillaba come unità discreta misurabile e organizza il verso come sequenza di piedi metrici governata da regole di sostituzione ben codificate. C’entrano anche questioni mnemoniche: è più facile ricordarsi un testo ritmato, e la poesia nasce come espressione orale. Con la dissoluzione della distinzione fonologica tra vocali lunghe e brevi nelle lingue romanze, la metrica quantitativa perde il proprio fondamento fonetico, e già dall’alto medioevo si sviluppa gradualmente una metrica accentuativa e sillabica, in cui il verso è misurato non più per durata ma per numero di sillabe e per posizione degli accenti tonici; mentre la rima, pressoché assente nella poesia classica, si prende il compito di segnalare dove il verso finisce. Il sistema formale della metrica dipende strettamente dalla struttura fonologica della lingua storica in cui opera, il che rende la traduzione della poesia una sfida ulteriore. Il Rinascimento italiano vede fiorire una serie di trattati sulla metrica che ambiscono a codificare in regole scritte l’intero sistema dei versi e delle forme strofiche in volgare: la Poetica di Gian Giorgio Trissino, ad esempio, tenta di adattare le categorie aristoteliche e la metrica classica alla nuova lingua “italiana”. Si descrive e, al contempo, si prescrive: come spesso accade, un sistema formale nasce per registrare pratiche già esistenti, ma finisce quasi sempre per orientare, retroattivamente, le pratiche successive.

Un trattamento esplicitamente scientifico della metrica arriva nel Novecento col formalismo russo, per il quale il ritmo poetico, lungi dall’essere una applicazione meccanica di uno schema metrico astratto, è visto come interazione dinamica, statisticamente misurabile, tra lo schema metrico ideale e la sua realizzazione fonica effettiva in ogni singolo verso, un’interazione che produce continue deviazioni significative rispetto allo schema. Vedremo poi l’Oulipo costruire attivamente vincoli metrici per liberare, paradossalmente, nuove possibilità creative.

Ma cosa c’è che trascende la metrica e rende un verso poetico significativo? E in che modo questa ricerca di senso si lega al vincolo metrico, o a quello prosodico? Usciamo dall’Europa e torniamo indietro di qualche secolo, per trovare una prima possibile risposta. Fra l’VIII e il IX secolo, nella cultura letteraria del Kashmir, Ānandavardhana formulò la tesi seguente, condita da una opportuna metafora sensoriale: il senso più alto di un’opera letteraria non è mai il senso denotato dalle parole, ma un senso ulteriore, suggerito, che scaturisce dal denotato come un profumo si sprigiona dal fiore senza mai coincidere con esso. Questo senso suggerito prende il nome di dhvani (ध्वनि), termine che designa, letteralmente, la risonanza di una campana che prolunga il suono oltre al colpo che l’ha percossa. Il sistema di Ānandavardhana presuppone una teoria della significazione linguistica articolata in tre funzioni della parola: la funzione denotativa diretta, che lega il segno al suo referente convenzionale, e che è la funzione su cui si concentra, in massima parte, anche la semantica logico-formale occidentale; la funzione indicativa o traslata, che entra in gioco quando il senso letterale risulterebbe incongruo rispetto al contesto e viene perciò sostituito da un senso affine, contiguo, collegato per relazione, e che è, grossomodo, il dominio della metonimia e della metafora; infine la funzione suggestiva, quella capacità della parola di evocare un senso che non è né il denotato letterale né un traslato codificato, ma un senso che si costituisce soltanto nell’atto della ricezione da parte di un lettore o ascoltatore dotato di opportuna sensibilità estetica. Il dhvani si manifesta nell’iperbole, ma può anche farlo, e viene ritenuto esteticamente superiore, quando il senso letterale resta presente e operante, e la parola, in più, suggerisce qualcosa di universale. Uno dei modi in cui può funzionare il dhvani è quando il parlante descrive compiutamente una situazione per suggerire al suo interlocutore una serie di comportamenti che in realtà non menziona. Esempio: se voglio dire al mio ospite di trattenersi in casa per la notte, posso farlo descrivendogli la pioggia intensa che sta per cadere, e i pericoli che incontrerebbe sulla strada buia. L’interlocutore, quindi, deve avere una capacità di leggere il contesto simile a quella del parlante.

La teoria del dhvani fu contestata: per il contemporaneo Kuntaka l’essenza della poesia non risiedeva in un senso ulteriore rispetto al detto quanto piuttosto nella deviazione stessa dell’espressione rispetto all’uso linguistico ordinario, deviazione che investe ogni livello del testo, dal fonema alla composizione dell’intera opera.

La “prova” che la poesia nasce dall’esperienza di un’emozione che trascende la parola verrebbe, secondo Ānandavardhana, da un passo del Rāmāyaṇa di Vālmīki, che abbiamo citato in apertura di questa sezione: il saggio, passeggiando lungo la riva di un fiume, assiste alla morte improvvisa di un krauñca (un uccello) colpito dalla freccia di un cacciatore mentre si accoppiava con la propria compagna; al lamento della femmina superstite, Vālmīki è colto da un dolore così intenso da prorompere in un verso metricamente perfetto. Il poeta gioca tra la somiglianza delle parole śoka (शोकः, dolore) e śloka (श्लोकः, verso poetico), inventandosi un’etimologia che tutto giustifica a posteriori (la creatività etimologica è un’attitudine comune: basti pensare a McLuhan che imparenta Narciso e narcosi, caso già citato in questo libro, o a… tutta l’opera sulle etimologie di Isidoro di Siviglia, che con la scusa di far capire la natura delle cose dal loro nome non disdegnò di lavorare di fantasia, spesso basandosi su pure coincidenze fonetiche). Torna poi alla mente l’Odisseo omerico che si commuove davanti all’aedo di Alcinoo fino al punto di dover narrare le proprie avventure, cessando così di essere un naufrago sconosciuto e ritornando alla pienezza della sua dignità: ma la poesia, comunque vada, è la voce di chi resta eternamente su una soglia emotiva, conteso fra mondi estranei.

Con l’uso del dhvani si pratica una forma di mimesi che mantiene il mistero sul fatto in sé, magari creandoci attorno un mito che suggerisca relazioni di causa senza esplicitarle. Il lettore dev’essere abituato a procedere per interpretazioni oblique, per allusioni intertestuali che gli forniscano la chiave di lettura per la realtà. La poesia è sostanzialmente un fatto impuro, grato alla propria possibilità di contaminarsi. Anche qui ci sono delle risonanze (appunto) con alcune teorie elaborate in Europa: la teoria dell’integumentum di Boccaccio esposta nella Genealogia deorum gentilium secondo cui la poesia, come il mito, non dice il vero direttamente, ma lo copre con un velo che il lettore preparato deve sollevare. Certo, qui si presuppone che dietro al velo ci sia una verità parafrasabile, mentre nel dhvani se traduci l’emozione in proposizione esplicita l’esperienza estetica si dissolve: è una sorta di enigma senza soluzione. In Europa invece le chiavi di lettura abbondano, basti pensare al Tasso che spiega la Gerusalemme liberata anteponendoci lui stesso un’Allegoria.

L’Occidente elabora concetti prossimi al dhvani in maniera più compiuta in epoca moderna e contemporanea con il simbolismo francese di fine Ottocento e in particolare con la poetica di Mallarmé. Il compito del poeta non è nominare l’oggetto, gesto che esaurirebbe in un colpo solo il piacere della scoperta progressiva: piuttosto, si tratta di evocarlo un po’ alla volta, lasciando che il senso si formi per allusione. Il cigno rimasto intrappolato nel ghiaccio di un lago gelato, incapace ormai di spiccare il volo che un tempo, si suggerisce, aveva soltanto sognato senza mai tentarlo, porta il lettore del celebre sonetto a identificarlo con il poeta paralizzato dalla sterilità creativa o dal timore del fallimento senza mai alludervi direttamente. Ritroviamo un’eco ulteriore (appunto) anche nella teoria della ricezione di Ricoeur che sostiene che la metafora non sostituisce un senso letterale con un senso figurato secondo un codice di traduzione stabile, ma produce, tramite una impertinenza semantica, un senso nuovo, irriducibile a parafrasi, che emerge dall’attrito fra i termini messi in rapporto: ed è ad ogni buon conto un senso che eccede il senso letterale senza mai abolirlo. E, ancora, la ritroviamo nelle tesi di Wolfgang Iser, per cui il testo poetico possiede una inevitabile lacuna che la parola lascia aperta e che il lettore è chiamato a colmare. Infine, la ritroviamo capovolta nelle tendenze recenti di molte serie televisive o di blockbuster cinematografici di far spiegare ai personaggi, via via, quello che stanno facendo in scena, in modo da ovviare alla perdita dell’attenzione del pubblico (si pensi, per contrasto, all’espressività dei non detti e dei mezzi toni in un film come In the mood for love di Wong Kar-wai).

Ci stiamo intanto avvicinando al tema enorme dell’ambiguità, che sarà l’argomento del prossimo capitolo, e a causa del quale la natura della parola si farà sempre più importante e sempre più sfuggente, pronta a nascondersi nella pluralità dei codici e nella sovrapposizione di spazi e contesti.

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L’immensità addomesticata

L’esperienza umana si svolge entro intervalli ristretti, e commisurati alle nostre dimensioni: il che vuol dire che la nostra intuizione ben si adatta a raffigurarsi eventi che accadono sulla scala che va da qualche millimetro a qualche chilometro, o da qualche secondo a qualche decina di anni. La nostra vita, perlopiù, si svolge entro questi margini, ed è qui che facciamo la maggior parte delle nostre esperienze. Come arguiva Protagora, l’uomo è la misura di tutte le cose; o almeno ritiene di esserlo, e se con qualche pena siamo riusciti a liberarci dal punto di vista razionale dall’intrinseco antropocentrismo che la nostra visione del mondo comporta l’istinto ci tiene ancora lontano da ciò che è, nei nostri confronti, letteralmente fuori scala. Lavorandoci un po’ possiamo immaginare il corso dei secoli, anche perché abbiamo imparato a studiare la storia, e ci orientiamo nelle decine o nelle migliaia di chilometri perché abbiamo esperienza di viaggi lunghi. Quando però la realtà ci impone scale che fuoriescono da questi confini la mente vacilla: se va bene, comincia a lavorare per analogia, riconducendo ciò che osserva a esperienze note, ma spesso e volentieri si trova semplicemente spaesata. Per fare un esempio: sappiamo che la Terra ha 4,5 miliardi di anni, ma il numero in sé non evoca in noi nessuna sensazione vivida, nessun senso incarnato del tempo. Sappiamo altresì che le galassie distano tra loro anni luce, ma non abbiamo alcun istinto che ci guidi nel collocare le nostre dimensioni umane in rapporto a quelle distanze. Come riusciamo a rapportarci al virus dell’influenza, che è “grande” qualche decina di nanometri? E al decadimento del berillio-8, che ha un’emivita nell’ordine degli attosecondi prima di scindersi in due nuclei di elio-4?

La risposta è nascosta nei nomi delle unità di misura, o meglio, dei multipli e dei sottomultipli delle unità di misura standard che consideriamo per rapportarci al mondo, e che sono, per la distanza e per il tempo, il metro e il secondo rispettivamente (a meno che non siate statunitensi).

E il modo in cui si nasconde è legato a strumenti matematici che ci permettono, sostanzialmente, di togliere manciate di quegli zeri che precedono o seguono la prima cifra significativa di ciò che stiamo misurando, o di lavorare con le somme invece che con le moltiplicazioni. Si tratta, come è noto, della funzione esponenziale e del logaritmo, a loro volta poste in relazione dal fatto di essere, una volta stabilito il loro campo di esistenza, l’una l’inverso dell’altra.

Succede spesso che gli strumenti di calcolo siano un espediente di traduzione fra ciò che sarebbe altrimenti inaccessibile e quello che la mente riesce a maneggiare. L’esponenziale, in particolare, rende visibile la dinamica della crescita esplosiva, mentre il logaritmo permette di navigare scale temporali o quantitative di proporzioni cosmiche, comprimendo ordini di grandezza incomprensibili in intervalli percepibili.

L’argomento ha in sé una sua dimensione filosofica, che esula dalla mera utilità aritmetica. Ogni strumento matematico che usiamo per comprendere il mondo porta con sé una forma di pensiero, una struttura implicita attraverso la quale organizziamo l’esperienza. L’esponenziale ci racconta la storia che la crescita di qualcosa dipende dalla sua grandezza attuale, mentre il logaritmo introduce l’idea che la differenza soggettivamente significativa non è assoluta ma relativa. Entrambe queste idee, come vedremo, trovano riscontro nelle scienze cognitive, nella biologia, nella fisica e nella teoria della percezione.

1. Potenze ed esponenziali

2. Logaritmi

3. Epistemologia delle scale

4. Poesia, letteratura e dismisura

5. Apologia della dismisura

1. Potenze ed esponenziali

L’umanità attuale, nella maggioranza dei casi, conta in base dieci (a meno che non siate informatici, per cui potreste gradire altri numeri come il 2, 8 o 16). Il che vuol dire che ha a disposizione dieci cifre diverse, da 0 a 9, e che combinando questi segni esprime tutti gli infiniti numeri di cui ha bisogno per misurare il mondo e per calcolarne i dati. Il sistema di calcolo è posizionale (anche se siete informatici): la posizione relativa della cifra nel numero vi dice se state parlando di unità, decine, centinaia, eccetera, o, dopo la virgola, se si tratta di decimi, centesimi e via così. È un sistema di calcolo indubbiamente comodo e semplice da imparare, nei suoi meccanismi fondamentali; basta sapere in che base state lavorando, e come eventualmente formalizzare il cambio di base. Il problema arriva quando bisogna scrivere numeri un po’ più unghi, tipo mille miliardi di miliardi, 1000000000000000000000, o un milionesimo di miliardesimo, 0, 000000000000001. O peggio. La mancanza di spazio sufficiente si traduce in maggiori difficoltà a fare i calcoli, e a maggiore probabilità di infilarci dentro qualche errore (vale per noi e anche per i computer). Sicché si sfrutta il fatto che il calcolo è posizionale, per l’appunto, e si cominciano a usare le potenze. 10 è 10 volte 1, cioè 10^1. 100 è dieci per dieci, cioè 10^1x10^1=10^2. Gli esponenti, cioè, si sommano. Ci teniamo il 10 come base e il resto della grandezza del numero lo gestiamo con l’esponente, con il doppio vantaggio di risparmiare spazio e di trasformare le moltiplicazioni in somme.

L’esponenziale si comporta in maniera simile, solo che non usa il 10 come base ma, in sua vece, il numero di Nepero, e. È un numero irrazionale e trascendente che vale approssimativamente 2,718 e che viene introdotto perché è legato alle funzioni trigonometriche. Lo si può definire in diversi modi: i più comuni (a meno che non siate Ramanujan) sono il valore del limite

dove, al solito, il fattoriale di un numero intero positivo è

e si pone 0!=1.

La funzione esponenziale è una funzione che ha la forma \f(t)=a \dot e^{kt}, dove a e k sono due costanti numeriche e t è la variabile: quando si usa la funzione per descrivere il tasso di crescita di qualcosa, t indica solitamente il tempo. Se k è un numero negativo, la funzione descrive la decrescita: è il tipico esempio della formula dei decadimenti radioattivi. La proprietà fondamentale della funzione esponenziale è che la sua derivata prima, cioè la funzione che dice la velocità f(t) cresce, è proporzionale alla funzione stessa, e cioè è esponenziale anche lei. Vale infatti f’(t)=ka \dot e^{kt}. È una struttura che genera dinamiche esplosive, in cui la scala dei valori assunti aumenta vertiginosamente man mano che il tempo passa, invece, un passo alla volta. Prendiamo l’esempio della crescita batterica. Escherichia coli, in condizioni ottimali, si divide ogni venti minuti circa. Partendo da un singolo batterio, dopo un’ora ne abbiamo 8, dopo due ore 64, dopo dieci ore oltre un miliardo. Dopo ventiquattro ore, se nessun fattore limitante intervenisse, la biomassa batterica supererebbe il peso della Terra intera. Ovviamente non succede: la crescita batterica segue un andamento esponenziale solo nelle prime fasi, dopo di che intervengono altri meccanismi, che portano a far sì che la crescita si arresti a seconda dei limiti ambientali che le sono imposti.

Ma, nel breve tempo in cui l’esponenziale è una buona descrizione del fenomeno, il suo comportamento ci causa dei problemi cognitivi, che mal si accoppiano con la relativa facilità con cui trattiamo l’equazione da un punto di vista strettamente matematico. L’abbiamo visto durante la pandemia di Coronavirus, con la strutturale difficoltà collettiva a capacitarsi del fatto che, se il tasso di crescita era maggiore di 1, non solo i casi sarebbero cresciuti a dismisura, ma anche la velocità con cui l’avrebbero fatto sarebbe aumentata di pari dismisura. Almeno fino a che, grazie alla saturazione del numero degli infettabili, alla parziale immunizzazione da malattia pregressa, all’isolamento degli infetti o all’arrivo dei vaccini (o grazie a una combinazione di questi elementi), il tasso di crescita non fosse sceso sotto a 1.

2. Logaritmi

Come ci dice il nostro vecchio libro di aritmetica, il logaritmo è l’inverso dell’esponenziale: se \y=e^x, allora x=\log y, ove per Log si intende il logaritmo in base naturale, ossia in base e. Alcuni preferiscono chiamare il logaritmo naturale ln, e lasciare Log per il logaritmo in base 10; siccome si può passare dall’uno all’altro semplicemente moltiplicando o dividendo per una opportuna costante, basta intendersi dall’inizio e il quadro concettuale, comunque, non cambia. Il logaritmo prende una quantità che varia su ordini di grandezza vastissimi e la traduce in un numero relativamente piccolo e maneggevole. L’operazione di compressione che viene formalizzata dall’uso del logaritmo rispecchia il modo in cui i sistemi biologici elaborano l’informazione. La legge di Weber-Fechner, formulata nel XIX secolo e confermata da ricerche successive, stabilisce che la percezione sensoriale è proporzionale al logaritmo dello stimolo fisico. Se raddoppiamo l’intensità di un suono, non lo percepiamo come due volte più forte, ma come un incremento costante e modesto. Dovendo tener conto della struttura della percezione biologica dei fenomeni naturali, la scala dei decibel per misurare il suono, quella di Richter per i terremoti o quella del pH per l’acidità sono tutte logaritmiche. Ma nessun concetto illustra meglio la necessità cognitiva del logaritmo quanto quello di “tempo profondo”, espressione introdotta dal geologo John McPhee nel 1981 per indicare la vastità delle scale temporali geologiche e cosmologiche. L’età della Terra è di circa 4,54 miliardi di anni; l’età dell’universo è di circa 13,8 miliardi di anni. Sono dati intuitivamente comparabili tra loro, ma non con la nostra esperienza quotidiana. L’orizzonte di Hubble, la distanza oltre la quale nessun segnale ci potrà mai raggiungere a causa dell’espansione dello spazio, è di circa 46 miliardi di anni luce, e un anno luce è a sua volta 9461 miliardi di chilometri. Noi riusciamo a gestire l’intuizione di qualche centinaio, al più migliaio, di chilometri, che sono le distanze che un essere umano può legittimamente aspettarsi di percorrere in un viaggio.

Per orientarci in questo paesaggio scegliamo allora di mettere tempi e distanze su scala logaritmica: e rappresentiamo la storia dell’universo su un asse in cui ogni unità corrisponde a un ordine di grandezza (da 1 anno a 10 anni, da 10 anni a 100 anni, e così via), l’intera storia documentata dell’umanità occupa meno di un quinto dell’ultimo intervallo. La comparsa della vita multicellulare, circa 600 milioni di anni fa, si colloca a poco più di tre quarti dell’asse. Le prime stelle si formano a circa un decimo dell’asse dalla sua origine. È un tipo di rappresentazione che non tradisce la realtà, ma la comprime deformandola in modo da renderla navigabile, preservando le strutture relative tra gli eventi.

3. Epistemologia delle scale

Il rischio, a questo punto, è che la (relativa) facilità d’uso degli strumenti matematici ci restituisca una familiarità eccessiva con gli eventi che essi descrivono, e che perdiamo di vista l’impossibilità umana di una reale esperienza dei fenomeni dilatati dall’esponenziale o compressi dai logaritmi. Stephen Jay Gould ha insistito a lungo su questa distinzione, dicendo cioè che la comprensione intellettuale del tempo profondo non è equivalente all’immaginazione del tempo profondo, e che questa seconda è probabilmente impossibile per un essere umano.

Detto ancora in altri termini, gli strumenti matematici ci danno accesso alla mappa ma non al territorio e, per quanto la mappa sia necessaria e utile, va tenuta distinta dalla realtà che rappresenta.

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Come sapete perché lo ripeto allo sfinimento, compito primario di Sillabe è tenere insieme poesia e scienza, fare finta che Lucrezio non sia morto, che le Arti liberali non si siano sparpagliate nel mondo guardandosi da distante in cagnesco come ex coniugi feriti, e che esista un posto nella vita culturale dove quello che faccio abbia un senso. E così, mentre da un lato tamburello sulla scrivania per tenere il ritmo di questo o quel verso, e dall’altro mi impegno a leggere matematica, e fisica, e filosofia del linguaggio e della scienza, e lavori nuovi sull’intelligenza artificiale, e da un altro lato ancora mi immergo nelle lingue diverse dalla mia, e da un quarto lato cerco di fare ginnastica tutti i giorni perché se no da anziana mi verrà la sarcopenia e stare in salute preventivamente è di fatto l’unica assicurazione sulla salute che posso permettermi economicamente, e da un lato successivo mi ricordo che devo preparare la cena e salto via dal computer e vado in cucina, ecco, in mezzo a tutto questo poligono mi ritrovo a tradurre concetti e parole tra ambiti tra loro così diversi che mi sembra sempre di perdermi nella selva oscura che c’è nel mezzo, e la diritta via era smarrita e il naufragar m’è dolce in questo mare.

E quindi ve lo volevo raccontare meglio qui sotto.

Com’è noto, ogni lingua ha una sua piccola frazione di parole talmente agganciate al contesto culturale da risultare difficilmente traducibili in altre lingue a meno di non utilizzare delle perifrasi: la saudade, la Schadenfreunde, eccetera. Prima di arrivare alle lingue straniere ho avuto problemi anche col veneto, che ho imparato da bambina per comunicare più efficacemente coi nonni, quando ormai la mia lingua madre era l’italiano. Per esempio, che odore è il freschìn? Sì, certo: è un odore sgradevole, ricorda il pesce o le uova crude, o l’acqua stagnante (a proposito: come spiegare l’odore di un vestito lavato quando gli è morta l’acqua addosso?), ma al contempo va oltre, non riempie del tutto nessuna delle categorie olfattive precedenti, sicché per anni mi sono chiesta se al di fuori dei miei luoghi natii a qualcuno puzzassero mai le mani da freschìn.

Mi piace imparare le lingue straniere, vive e morte, il che mi mette però anche nella trista condizione di dover essere io quella che parla con gli altri quando andiamo all’estero. C’è di bello, almeno, che posso industriarmi a leggere opere letterarie in lingue diverse dalla mia, e sentire come suonano; e cercare, di volta in volta, di capire come suonerebbero quelle parole nella mia lingua, o viceversa, e che cosa si perde, o che cosa si trasforma, passando da una lingua all’altra. Lo faccio in modo assolutamente dilettantesco, per cui immagino che chi traduce per lavoro abbia problemi maggiori. Ma tant’è.

L’altra settimana stavo zoppicando su alcune poesie di Celan, uno che con la lingua aveva maturato crucci difficili da sanare, peraltro: ebreo rumeno di madrelingua tedesca, si trova a fare i conti con il fatto che la lingua che sente come immediatamente sua — quella con cui pensa, sogna, ricorda — è la stessa lingua con cui è stato pianificato lo sterminio della sua famiglia. E a un certo punto Celan parlava dello Hinübersein, che vuol dire essere esausti, ma c’è tutto un mondo dietro su cui mi sono voluta soffermare. Che il Sein sia il verbo essere, ok, va bene: m’è toccato leggere Heidegger a sufficienza per saperlo (anzi, esisterà anche un verbo apposito, leggere-Heidegger-a-sufficienza, Heideggersichauslesen o qualcosa del genere). Ma il resto del verbo è costituito da due preposizioni indicanti movimento, hin che mette in conto l’allontanamento e über che determina l’oltre. E quindi tutto insieme traduce la sensazione di guasto esistenziale e fisico, di spossatezza, sfinimento e senso della fine ineluttabile. Mi sono grattata pensosamente la testa. Mi ero appena ritrovata in una di quelle situazioni in cui sai che cosa vuol dire una cosa, ma non sai bene come esprimerla.

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Sillabe, come sapete, fa questo: tiene insieme le forme chiuse della metrica italiana e gli argomenti di matematica, scienza, epistemologia, filosofia del linguaggio, cercando di non far torto al rigore e alle esigenze precipue dell’una e dell’altra sponda. C’è un sostrato culturale comune da indagare, e che si rivela peraltro anche negli orizzonti che si stanno aprendo ora con la sempre più fitta interazione tra il pensiero umano e i testi generati dai modelli linguistici di grandi dimensioni: tema, questo, che viene esaminato più in profondità nelle puntate del mercoledì della rubrica Codici e versi (potete trovarla direttamente in alto, nel menu di Sillabe).

Per non venir meno alla necessità del diletto, Sillabe ha anche una rubrica mensile sui libri, che si chiama Archivio del comodino. Tutto questo, come si dice, è gentilmente offerto dalla casa; poi, siccome tenere in piedi Sillabe è un impegno non indifferente di tempo e risorse mentali, se volete sostenere il progetto potete sottoscrivere un abbonamento, annuale (55€) o mensile (5,5€). È meno di un caffè alla settimana: e, in cambio, è garantito l’accesso integrale alle tre rubriche riservate agli abbonati, che sono Cronache metriche del dopo, coi suoi racconti di scienza e fantascienza in endecasillabi, Il verso delle cose, che pubblica articoli su vari argomenti mantenendo un taglio ibrido tra letteratura e scienza, e Note in controtempo, in cui racconto un po’ quel che succede nel “making of” della newsletter.

Ciò detto, se volete leggere per intero Teoria dei canti, potete trovarlo

qui in cartaceo
e qui in ebook.

Oggi parliamo degli albori della geometria, e ci addentriamo poi nelle sue astrazioni: protagonisti del canto II sono infatti Riemann e Kandinskij.

Teoria dei canti

Ora la terra si snocciola pigra
a ricoprir lo spazio ovunque passi
la vista e l’osso triste di chi migra; 3

e sta a contare, inutili, dei sassi
che il vento non consuma e lascia persi.
Guardi e cammini, finché non collassi, 6

incontro, desolati e mai sommersi,
ad orizzonti piegati e fumosi
che stanno in sé distesi e poi riversi. 9

Lo spazio si dispone per chi osi
farne concetto di numero e metro
con cenni e movimenti rigorosi: 12

entri il geometra, chiedo ed impetro,
e ponga un’unità di base fissa
e tutto il misurar le venga dietro. 15

L’esigenza di misurare campi e di tracciare rotte è antica; nasce prima della formalizzazione astratta degli strumenti di cui fa uso, e riflette anche nel nome, geometria, il fatto di essere scienza della misura della terra. Erodoto ne riconosceva l’origine nel bisogno pratico degli Egizi di ridisegnare i confini dei poderi dopo ogni piena del Nilo, e Aristotele confermava quando osserva che le arti matematiche fiorirono in Egitto perché lì la casta sacerdotale disponeva del tempo libero necessario alla contemplazione disinteressata. Nonostante la base marcatamente pratica, la geometria è anche il terreno (appunto) in cui nel mondo greco si sviluppa il pensiero astratto, e prende forma il ragionamento ipotetico-deduttivo che tanto avrà da dire nella matematica intera dei secoli successivi. Talete di Mileto, all’inizio del VI secolo a.C., è il primo nome a cui la tradizione dossografica attribuisce sia i risultati che il diametro divide il cerchio in due parti uguali e che gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali, sia soprattutto la pretesa di provarli per via deduttiva, e non di limitarsi a verificarli caso per caso. Pitagora e la relativa scuola avrebbero trasposto questa esigenza in una vera e propria metafisica, attribuendo al numero la proprietà di costituire l’essenza delle cose, oltre che ovviamente la capacità di descriverle; la geometria fornirà poi un’amara messa alla prova di tanta fiducia, con la scoperta che il rapporto fra la lunghezza della diagonale di un quadrato e quella del lato non è pari al rapporto di nessuna coppia di numeri interi. Sicché la scoperta dei numeri irrazionali (come radice di due, in questo caso) è forse la prima crisi dei fondamenti della storia della matematica, e riguarda proprio la geometria: il segno che la disciplina, appena resasi autonoma dalla misura pratica, comincia subito a produrre risultati che eccedono l’intuizione da cui è partita.

Platone ne aveva colto l’importanza. Tradizione vuole che sopra la porta dell’Accademia avesse posto il monito “non entri chi non conosce la geometria”, tant’è che nella Repubblica la geometria è l’unica fra le arti che “trae l’anima verso la verità”, perché costringe a ragionare su un triangolo che nessun triangolo disegnato, sempre imperfetto, potrà mai incarnare del tutto.

Euclide, e i suoi Elementi, arrivano dunque in un panorama intellettuale già maturo per dare credito alla necessità della dimostrazione: si tratta di stabilire in modo formale e definitivo come fondare, a partire da un numero minimo di principi evidenti, un intero edificio deduttivo. E l’edificio, regge, eccome: lo fa per secoli e secoli, garantendo sia la pratica architettonica che la teoria speculativa, con la scoperta di nuovi teoremi. Entra in crisi, come sappiamo, quando si affronta una volta per tutte quello che, tra i postulati euclidei, sembrava essere il meno solido dal punto di vista dell’evidenza: il quinto postulato, cioè quello che asserisce che, per un punto esterno a una retta assegnata, passa una e una sola parallela a quella retta.

A dimostrarlo come derivante da altre “verità” più fondamentali non si riesce: ma si ottiene molto di meglio, cioè la possibilità di costruire teorie geometriche comunque coerenti negandone la validità, e facendo nascere così le geometrie non euclidee, dall’iperbolica alla sferica.

Antica nel disporre in tentazione
i solidi ed i piani ed altro mai,
conosce dei volumi la ragione, 42

e delle superfici tu già sai
il calcolo ch’è detto regolare.
Più tardi ciò che taccio pur saprai: 45

ed altrimenti voglio continuare.
Ho dato, mi conosci, molto zelo
al grande mai sopito ponderare 48

che indusse il ragionare allo sfacelo
cercando un calcolare più fondato
su quello che si vuole parallelo. 51

E tutto s’è sconvolto, trasmutato
da quanto certo un dì, di contro, vide
nel libro d’Elementi, il postulato, 54

il quinto, invalicabile d’Euclide.
Di nuovi fondamenti qui, pertanto,
col cuore ancora molle si decide: 57

L’idea che si potesse andare oltre Euclide era venuta, in effetti, già a Gauss, che non difettava né di genio né di capacità di lavoro. Lasciò questa idea agli scritti privati, però, perché la sua fama scientifica non poteva permettersi una polemica di cui non era certo l’esito. Ma il contributo più importante di Gauss alla nascita del concetto moderno di spazio curvo non riguarda le geometrie alternative in sé, bensì una domanda in apparenza più modesta e tangenziale: che cosa significa che una superficie è curva?

Quello che Gauss scopre, e magnificamente dimostra, è che si possono distinguere due nozioni di curvatura che fino ad allora erano rimaste confuse. La curvatura estrinseca è quella che si osserva dall’esterno, immergendo la superficie nello spazio tridimensionale: è la curvatura, per esempio, di un foglio arrotolato a cilindro. La curvatura intrinseca, invece, è quella misurabile da un ipotetico abitante idimensionale della superficie stessa, che non può mai uscirne per osservarla all’esterno, ma solo misurare distanze, angoli e aree al suo interno. Il risultato del teorema, che Gauss stesso chiama (con poca modestia, ma senza esagerarne l’importanza) Theorema Egregium, è che la curvatura intrinseca è un invariante: non dipende dal modo in cui la superficie è immersa nello spazio, ma è determinabile interamente dalle misure fatte sulla superficie stessa. Un cilindro, per quanto curvo appaia dall’esterno, ha curvatura intrinseca nulla, tant’è che può essere srotolato in un piano senza deformazioni; una sfera, invece, ha curvatura intrinseca positiva e costante, e nessuna mappa piana potrà mai rappresentarla senza distorsione. Motivo per cui tutte le carte geografiche deformano necessariamente qualcosa (ditelo ai terrapiattisti), e il massimo che possono fare i cartografi è decidere quale proprietà geometrica privilegiare nella rappresentazione a scapito delle altre.

È un risultato geometrico fondamentale ma che ha anche rilevanza sotto l’aspetto filosofico, perché separa la geometria dallo spazio ambiente in cui la si immagina. Non è più necessario postulare uno spazio euclideo esterno in cui le superfici curve vivono: la curvatura è una proprietà che una superficie possiede in sé, indipendentemente da qualunque immersione. È il gesto concettuale che rende pensabile l’idea che lo spazio stesso possa avere una curvatura intrinseca, senza bisogno di un iperspazio euclideo che lo contenga. Sentite avvicinarsi i passi di Einstein? Anche io. Ma, prima, arrivano quelli di Riemann: il quale estende la nozione gaussiana di curvatura intrinseca a spazi di dimensione qualsiasi, dotati di una nozione locale di distanza (quella che oggi chiamiamo metrica riemanniana) che può variare da punto a punto. Lo spazio euclideo, a curvatura nulla ovunque, diventa un caso particolare fra infiniti altri possibili: uno spazio può avere curvatura positiva, negativa, o variabile, e la geometria che lo descrive non è data a priori, ma va determinata empiricamente, misurando.

Allarghiamo un po’ la visuale. Il movimento dall’oggetto alla struttura pura, che è tipico del procedere matematico, attraversa nel corso del tempo tutti i concetti più elementari della geometria: il punto, la linea, la superficie. In Euclide, come si è visto, questi enti sono ancora definiti per via descrittiva, quasi con un residuo di riferimento all’esperienza visiva, per cui il punto è ciò che è senza parti, la linea è definita come ciò che è senza larghezza. Alla fine dell’Ottocento, con la crisi dei fondamenti e il progetto di un rigore interamente formale, questo residuo intuitivo diventa il problema da eliminare. Eccoci dunque a Hilbert, che ribalta il rapporto fra definizione e assioma: punto, retta e piano non vengono più definiti, ma introdotti come termini primitivi il cui unico significato è determinato dalle relazioni che gli assiomi impongono fra di loro. Un’altra via all’astrazione, complementare a quella assiomatica di Hilbert, è quella percorsa da Felix Klein: classificare le geometrie non più per i loro oggetti primitivi, ma per il gruppo di trasformazioni rispetto a cui le loro proprietà restano invarianti. La geometria euclidea, per esempio, è ciò che resta invariante sotto le isometrie; la geometria proiettiva non varia sotto trasformazioni più ampie, e la topologia si mantiene tale sotto le deformazioni continue.

Ancor però mi guardo i meri punti,
la linea che da questi va e riparte, 81

e gli angoli serrati ai propri giunti,
la superficie più vasta o minore,
gli spigoli di sé non mai consunti. 84

E viene un uomo, sfatto di colore,
che parla d’ogni punto, d’ogni piano,
e d’ogni punto traluce un rumore, 87

e il tempo vi si spacca, poi ch’è vano
tenervi un’arte muta e stretta dentro.
Ecco, dispone lo spirito umano 90

e dice “qui vi parlo, quivi entro”
e segna un tratto, concerto di stili
che s’accomuna in un unico centro. 93

“Sono Kandinskij” mi dice “Vasilij
chiamarmi, per quest’ora, ti conviene.”
Quindi prosegue, con toni gentili: 96

“Geometrica ci pulsa nelle vene
quest’arte che dagli occhi si dipinge.
Tu vedi come il piano la contiene, 99

nei margini s’addensa, qui si stringe,
si stacca e si riposa. Lì si muove
la linea; naturale si sospinge 102

tra modi caldi e freddi, vòlta dove
la vuole l’espressione; qui composta
fin quando sensazione la commuove. 105

Che cos’è il punto, se già non si sposta?
È l’urto primigenio con il mondo,
è questa muta domanda e risposta, 108

è stabile, invisibile, rotondo
e tutto senza corpo, quale zero
d’un numerare ch’è umano e fecondo. 111

Nello stesso arco di tempo, tra la fine del XIX e l’inizio del XX secolo, la pittura europea compie un movimento parallelo, e non c’è troppo da stupirsi, vista la parentela tra matematica e arte. Vasilij Kandinskij, nel trattato Punto, linea, superficie del 1926 scritto durante il suo insegnamento al Bauhaus di Dessau, si propone infatti di isolare gli «elementi primi» della pittura per studiarli come entità dotate di proprietà e forze proprie, a prescindere cioè dalle potenzialità rappresentative. È così che il punto geometrico, “invisibile” perché privo di dimensione, diventa nella pittura un’entità concreta, dotata di una tensione interiore che dipende dalla sua posizione, dal suo peso visivo e dal contesto che lo circonda; la linea nasce, scrive Kandinskij, dal punto messo in movimento da una forza esterna, e porta in sé la memoria direzionale di quel movimento. Anche il piano non è più lo sfondo neutro su cui gli oggetti si dispongono secondo le regole della prospettiva, ma un campo di tensioni in cui ogni posizione produce un effetto espressivo specifico indipendente da ciò che il quadro rappresenta.

Per ovvie esigenze artistiche, il punto kandinskiano conserva sempre un residuo fenomenologico che quello matematico non ha, e che nessuna costruzione assiomatica potrebbe catturare. Matematica e pittura, insomma, se si muovono entrambe dal concreto all’astratto, dal disegno particolare alla struttura generale, prendono tuttavia direzioni diverse: l’una verso il puro rapporto, l’altra verso la pura espressione.

E, prima di mettere un punto finale alla puntata di oggi, chiudiamo con un sonetto inedito, come è ormai costume del venerdì.

Lo spazio, che misura tutto quanto,
solo a sé stesso comanda risposte;
di punti colmo, di forme supposte
a richiamarne incessanti l’incanto,

s’atteggia sulle curve, come un canto
su cui le note si fanno composte
nel peso di ragione. Qui, se foste
inclini a sopportare il mero vanto

d’aver dei numeri vera coscienza,
sapreste dire molto, e tacereste;
ogni parola calcola sé stessa,

per limitare mondi; e resta senza.
Ci bastino così soltanto queste:
per conclusione, o forse per premessa.

Grazie per aver letto Sillabe, e a presto!

Per una presentazione dell’opera, rimando all’omonima sezione che potete trovare nella homepage di Sillabe.

5. La matematica e le ombre

5.1. Classificare e comprendere

Abbiamo bisogno di regolarità e di cause; di spiegazioni, di previsioni e di sistemi per orientarci nello spazio delle nostre decisioni. Ci serve a mantenerci in vita, e ci consola quando ci sentiamo in balia del caos. Classifichiamo, denotiamo e formalizziamo.

Classificare vuol dire suddividere la continuità dell’esperienza in classi, e ordinare il molteplice a seconda dei concetti; denotare è l’atto per cui un segno punta verso un oggetto e lo designa, mentre per formalizzare intendiamo il tentativo di sottrarre concetti e riferimenti alla fluidità del linguaggio ordinario per iscriverli in un sistema di regole esplicite, in un calcolo che possa essere manipolato indipendentemente dal significato che le sue espressioni portano nel discorso naturale. Cose che, come abbiamo a visto, piacerebbero a Leibniz.

Abbiamo intanto finito con l’indicizzare qualsiasi cosa, per utilità pratica e per vezzo teorico, perfino l’essere umano e le sue caratteristiche: in questo, il nostro operare ricorda quello delle intelligenze artificiali e dei calcolatori, fatto com’è di classificazioni e formalizzazioni. Abbiamo aperto questo libro parlando della speranza umana che il mondo sia, in fin dei conti, intelligibile, sia pure codificato in un testo di cui dobbiamo imparare a riconoscere il linguaggio, o di cui dobbiamo noi stessi creare i segni e la grammatica. Proseguiamo qui: l’idea che la natura sia un libro, e vieppiù scritto in caratteri matematici, rimanda immediatamente a Galileo e al Saggiatore, e ci ricorda che secondo la dottrina che ne deriva il modello matematico diventa così condizione di possibilità della conoscenza fisica. Ma Galileo non è stato il primo. In effetti l’uso di questa metafora, da cui deriva la leggibilità del mondo, trova origine nella tradizione ebraico-cristiana. Hans Blumenberg osserva che essa orienta il modo in cui gli uomini concepiscono la conoscenza, la natura, Dio e il linguaggio. Dio ha scritto due libri: la Natura e la Bibbia, ragion per cui conoscere la natura significa leggere la calligrafia divina, e interpretarne correttamente sintassi e semantica (e, ovviamente, far sì che Dio non si arrabbi, giacché è suscettibile). Di qui nasce un’altra serie, diremo naturale, di corrispondenze: la storia è un racconto e le creature sono le sue parole. Un libro, comunque, non si legge da solo; avendo bisogno di un interprete, quest’ultimo dovrà armarsi di notevoli e precise capacità esegetiche, andando a sovrapporre il sapere con la padronanza dell’ermeneutica. E, va da sé, la liceità dell’interpretazione sarà appannaggio delle strutture di potere che gestiscono il rapporto con la divinità (che modulerà di conseguenza la sua suscettibilità). Da Galileo in poi, però, cambia la natura del linguaggio in cui il libro è scritto: diventa matematico, e acquisibile da parte di chiunque abbia la ventura di studiarne le regole e le forme. La metafora del libro come natura si arricchisce poi di nuove implementazioni. Il sapere diventa cumulativo e collettivo, tra Sei e Settecento; si cimenta con la perdita dell’intenzionalità degli eventi naturali a partire dall’Ottocento, con Darwin che toglie dal libro della natura ogni traccia di teleologia, e con la rottura fra la scrittura del testo e l’intuizione ordinaria messa in atto dalla nascita della meccanica quantistica nel Novecento. Le metafore linguistiche però continuano a permeare lo studio della natura e degli artefatti: il codice genetico, i linguaggi di programmazione, la stessa teoria dell’informazione non sono che una riproposizione del libro della natura in altre vesti. Anche i modelli linguistici operano come se ogni loro produzione fosse un testo interpretabile e continuabile, senza però presupporre un significato nascosto o un autore intenzionale: in questo caso, la leggibilità del mondo deriva dalla regolarità statistica delle tracce linguistiche lasciate dagli esseri umani.

Se la parte linguistica è tuttora fondativa, non ci dimentichiamo che abbiamo anche una parte simbolica: è plausibile ritenere — e alcuni studi sulle afasie vanno in questa direzione — che il “linguaggio” con cui pensiamo sia più simbolico che verbale, e che possediamo una logica interna più strutturata e precisa del mero linguaggio in grado di fare a meno delle parole.

In più, è sempre esistito anche un altro approccio alla comprensione dei fatti naturali, basato sulla visualizzazione. La filosofia tradizionale della matematica, influenzata dal logicismo e dal formalismo, ha spesso identificato il ragionamento matematico con la manipolazione simbolica e la dimostrazione deduttiva: eppure anche quando visualizziamo dei concetti che stiamo manipolando per la comprensione di una dimostrazione stiamo costruendo una rappresentazione mentale capace di mettere in evidenza delle relazioni matematiche. Nel fare ciò non ragioniamo sul disegno in quanto oggetto fisico quanto piuttosto sulla struttura astratta che esso rende accessibile e l’immagine funziona come un supporto percettivo che permette di isolare relazioni invarianti: il che ci porta a domandarci, per esempio, fino a che punto un sistema che manipola soltanto sequenze linguistiche, o simboliche, possa raggiungere il tipo di comprensione strutturale che nasce anche dalla visualizzazione, e come sia opportuno ragionare sulla natura della comprensione matematica nell’intelligenza artificiale e sui limiti dei modelli addirittura puramente linguistici. Se, da un lato, è infatti possibile ottenere capacità linguistiche e una notevole produttività cognitiva senza postulare un linguaggio interno simbolico, dall’altro ci si chiede che cosa significhi davvero avere rappresentazioni con contenuto e se la semantica sia una proprietà intrinseca di uno stato interno oppure emerga dalle relazioni tra il sistema, il suo addestramento e l’ambiente in cui opera. È un campo, come si è visto, ancora pieno di contraddizioni e di problemi aperti, all’interno del quale talvolta la posizione più fruttuosa e sincera è fermarsi un attimo e dire: questo non lo sappiamo.

Tale prospettiva ci tornerà comunque utile quando parleremo di visualizzazioni poetiche; nel frattempo, continuiamo l’esplorazione delle reti strutturali secondo cui organizziamo la nostra comprensione del mondo.

Il problema della classificazione di ciò che esiste, in senso concreto o astratto, ha portato alla formulazione del concetto di categoria. Il quale concetto, poi, ha vissuto un’evoluzione parzialmente divergente nella sua accezione filosofica e in quella matematica: nel primo caso si tratta grossomodo di enumerare le qualità più generali di esseri, pensieri e linguaggi, mentre nel secondo parliamo di modi di organizzare delle strutture attraverso oggetti e morfismi, cioè di oggetti e di relazioni tra gli oggetti. Vale la pena soffermarsi sulla storia delle categorie, in modo da capire il loro ruolo nella formalizzazione della materia che ci circonda e di quella che sostiene i nostri pensieri.

Dal lato filosofico, la storia delle categorie attraversa cinque fasi. La nascita, con Aristotele, che ne crea dieci corrispondenti ai quattro tipi tradizionali di predicazione (definizione, proprietà, genere e accidente) e sono i tipi di classificazione più generali e irriducibili sotto cui una cosa può cadere; la controproposta stoica che vedeva quattro sommi generi (substrato, qualifica, disposizione direzionale e disposizione relativa), e la tentata sintesi neoplatonica, con Plotino che stabilisce che i generi sono cinque, essere, quiete, movimento, identità e alterità; l’interpretazione della filosofia scolastica, con Boezio che considera l’apparato dei predicati e, cercando di definire se generi e specie esistano solo nella nostra mente o anche nella realtà oggettiva, dà di fatto il via alla disputa sugli universali, proponendo come soluzione che gli universali esistano nelle cose come proprietà comuni, ma che siano poi separati nella materia e pensati dalla mente come concetti astratti. Arriva poi Kant, a riformare l’impianto aristotelico dalla base: laddove la lista di Aristotele si fondava sull’ispezione intuitiva dei tipi di essere, Kant fonda le categorie su un unico principio trascendentale secondo cui “a ogni funzione dell’intelletto nei giudizi corrisponde un concetto puro dell’intelletto” e le categorie diventano dodici, suddivise in quattro macro-tipi (quantità, qualità, relazione e modalità). Le categorie kantiane stesse sono intese come meri predicati logici, vuoti in se stessi finché non vengono applicati come predicati dei fenomeni forniti dall’intuizione sensibile. Tra Ottocento e Novecento l’apparato trascendentale kantiano declina a tutto vantaggio di una ripresa dell’ontologia aristotelica: per Brentano lo schema delle categorie si manifesta sul piano grammaticale-linguistico ma è fondato ontologicamente sulla varietà e molteplicità che caratterizzano il piano delle cose reali; il lato logico-linguistico delle categorie dipende dunque dal lato ontologico, e ne è fondato. Sappiamo poi che Meinong ha allargato l’universo degli oggetti fino a includere enti esistenti, sussistenti e non esistenti, persino impossibili, e di come si è sviluppata di lì l’indagine filosofica sugli oggetti astratti.

Dal lato matematico, le categorie acquisiscono una propria dignità ontologica negli anni Quaranta del Novecento quando Samuel Eilenberg e Saunders Mac Lane, motivati dall’esigenza di separare le manipolazioni di routine dal contenuto specifico in topologia algebrica cercarono un linguaggio preciso per descrivere le costruzioni “naturali”. È un approccio con un elevato livello di astrazione, ma che ha l’indubbio pregio di fornire una cornice sistematica per trattare gli aggregati matematici come entità a sé stanti. In matematica una categoria è definita come una collezione di oggetti (per esempio, gruppi o spazi) insieme a una classe di applicazioni dette morfismi (o frecce), tali che due morfismi qualsiasi, di cui il dominio dell’uno corrisponda al codominio dell’altro, diano luogo a un’unica composizione. Questa operazione dev’essere associativa, e per ogni oggetto esiste un morfismo identità che soddisfa assiomi specifici.

Come si vede, sul piano concettuale la nozione matematica di “categoria” diverge dall’uso filosofico. Mentre i sistemi filosofici di categorie cercano spesso di classificare enti o predicati entro un’ontologia dell’esistenza, infatti, la “categoria” matematica è fondamentalmente una teoria delle trasformazioni. Le categorie filosofiche, ancora oggi, si concentrano sulle condizioni del pensiero o sulla struttura della realtà, mentre le categorie matematiche organizzano le strutture matematiche attraverso oggetti e morfismi e sono soggette a rigorosi vincoli fondazionali. Resta, in comune, l’interesse per le relazioni strutturali; e, senza dubbio, l’interesse filosofico enorme — forse spropositato, vista la sua difficoltà tecnica — assunto dal lemma di Yoneda. Il lemma di Yoneda dice, in sostanza, che l’identità di un oggetto risiede nella totalità delle sue relazioni con tutti gli altri oggetti di un dato universo, e ben si presta a far da tramite tra ontologia e formalismo matematico. Insomma, per sapere che cos’è un dato oggetto X non occorre “guardargli dentro” ma basta conoscere ogni altra relazione che esso ha con tutti gli altri oggetti che vivono nel suo universo. Agli strutturalisti garba l’idea: gli oggetti della matematica non hanno proprietà intrinseche indipendenti dal ruolo che occupano in una struttura, secondo loro, e in effetti la teoria delle categorie ha spesso rivendicato per sé lo statuto di linguaggio naturale dello strutturalismo, poiché sostituisce sistematicamente la domanda “che cos’è questo oggetto?” con la domanda “come si comporta questo oggetto rispetto a tutti gli altri?”. Una seconda linea di lettura filosofica, se vogliamo, collega il lemma al principio leibniziano dell’identità degli indiscernibili, per cui due enti che condividono tutte le proprietà relazionali sono, in un senso rigoroso, lo stesso ente (a meno di isomorfismo). Insieme ai teoremi di incompletezza di Gödel e al formalismo di Curry-Howard, a cui daremo un’occhiata nel prossimo capitolo, il lemma di Yoneda rappresenta uno. Di quei casi che la filosofia della matematica non può permettersi di trattare come mero tecnicismo e in cui la matematica stessa lascia che il formalismo parli, senza tema, di ontologia.

Terminato questo rapido excursus sulla doppia natura contemporanea del concetto di categoria, torniamo al problema da cui eravamo partiti, cioè quello di classificare. Da Aristotele deriva la strategia per cui la classificazione non è un atto arbitrario del soggetto conoscente ma un adeguamento a una gerarchia ontologica preesistente: fuori dalla filosofia in senso stretto ritroveremo la stessa impostazione nell’intera tradizione delle scalae naturae e nei sistemi tassonomici della biologia pre-darwiniana, da Linneo a Cuvier, che ereditano senza troppe modifiche l’idea aristotelica di essenza specifica fissa.

L’idea che una struttura del reale sia già di per sé articolata in generi e specie, e si comporti come una struttura che il linguaggio si limita a registrare, viene messa in discussione dall’empirismo inglese, e in particolare da John Locke, per cui classificare è opera dell’intelletto, e parzialmente riassorbita da Kant, come appena visto, per il quale le categorie sono forme a priori dell’intelletto che rendono possibile l’esperienza stessa. Abbiamo visto, nel capitolo 4, come il Novecento abbia poi riaperto la questione con la teoria dei generi naturali sviluppata in varie forme da Putnam e Kripke; e riportiamo qui, per completezza, anche la posizione di Wittgenstein, data la sua importanza per quel che riguarda la filosofia del linguaggio. È alle Ricerche filosofiche, infatti, che siamo debitori della tesi per cui buona parte dei concetti del linguaggio umano siano sfumati a tal punto che la loro applicazione non è governata da condizioni necessarie e sufficienti ma da un uso condiviso, appreso in contesti pratici, a cui diamo il nome di gioco linguistico. Si possono ancora classificare gli oggetti, certo, ma non è detto che ciascuna possibile classificazione porti con sé sempre e comunque la scoperta o la posizione di un’essenza: siamo vincolati a muoverci in un contesto fatto di relazioni tra persone parlanti costrette, a loro volta, a pattuire un linguaggio comune.

Una volta introdotta la questione della classificazione e prima di affrontare quella della formalizzazione, è il caso di chiederci com’è che arriviamo a conoscere le verità matematiche e a comprenderle, nell’ottica di confrontare questo processo con quel che avverrà, poi, con la comprensione dei testi poetici. Dobbiamo ragionare, insomma, su come si distingua una dimostrazione che convince da una che spiega, quali concetti meritino di essere chiamati “naturali”, e in che senso una macchina possa dirsi partecipe di tutto questo. Il tema della spiegazione matematica travalica la filosofia della matematica in senso stretto e si irradia verso l’epistemologia, la metafisica, la filosofia della scienza. Uno degli usi più ambiziosi che se ne è fatto è come argomento a favore del platonismo: se certe spiegazioni matematiche funzionano davvero come spiegazioni, se cioè non si limitano a convincere ma mostrano perché un fatto è tale, allora avremmo una ragione per credere nell’esistenza reale degli oggetti che quelle spiegazioni invocano. O, in maniera più cauta, potremmo avere un argomento mirato per il realismo su specifiche classi di enti. Alla radice di tutto questo sta la distinzione antica, aristotelica, fra le dimostrazioni che rispondono al τὸ ὅτι, cioè il fatto che qualcosa è vero, e le dimostrazioni che rispondono al τὸ διότι, al perché è vero. Un matematico, o un’intera comunità di matematici, può trovare una dimostrazione perfettamente convincente e tuttavia insoddisfacente perché non esplicativa, e quindi non abbastanza ricca di informazioni: le generalizzazioni davvero feconde nascono invece dal giusto grado di astrazione e mostrano l’oggetto studiato nel suo “ambiente naturale”. Resta aperta, e forse non del tutto risolvibile in astratto, la domanda su come spiegazione, generalità e astrazione si intreccino, ed è un nodo che ritorna ogni volta che si tenta di dire qualcosa di sostanziale sulla spiegazione matematica. Stanti queste premesse, ci si può concentrare poi sulla qualità della dimostrazione: è costume che i matematici si affezionino alle dimostrazioni che fanno uso di un alto grado di purezza, cioè a quelle che ricorrono soltanto a risorse concettuali appartenenti allo stesso ambito del teorema da dimostrare. Per fare un controesempio, esistono decine di dimostrazioni diverse del teorema fondamentale dell’algebra, ma nessuna che usi tecniche esclusivamente algebriche.

Altro concetto è quello della naturalezza delle definizioni degli oggetti matematici su cui la dimostrazione poi si basa; cioè su quando una definizione individua un concetto che emerge dalla struttura intrinseca degli oggetti studiati, anziché da una scelta arbitraria di rappresentazioni o da quali convenzioni sono presupposte: la stessa base della teoria delle categorie si fonda sull’asserto che una costruzione matematica non è veramente significativa se dipende da scelte accidentali, e abbiamo visto come ciò comporti il passaggio da una visione essenzialista a una relazionale della matematica stessa.

Resta, dietro a tutto ciò, un problema che riguarda chiunque faccia filosofia della matematica o della scienza: perché le virtù teoriche come semplicità o naturalezza, per non parlare poi dell’eleganza formale, dovrebbero fare da guida a come stanno davvero le cose? Non c’è ragione a priori per pensare che la realtà oggettiva sia così premurosa da conformarsi alle particolarità del nostro apparato cognitivo, e non esiste una risposta condivisa a chi ritiene che ogni scelta teorica fondata su tali virtù sia, in fondo, meramente pragmatica.

In fin dei conti (è il caso di dirlo!) che cosa significa comprendere la matematica, e in che modo la matematica ci aiuta a comprendere? Una risposta plausibile, che non è l’unica possibile, ma almeno è difendibile, delega la comprensione al possesso di certe abilità: comprendere qualcosa significa possedere capacità specifiche, e il compito filosofico consiste nel caratterizzare tali capacità entro contesti sufficientemente circoscritti. C’è una differenza, che tutti sembriamo avvertire, fra sapere che un enunciato matematico è vero e comprendere perché lo sia; e c’è una differenza ulteriore fra convincersi che una dimostrazione è corretta, controllando pazientemente ogni inferenza, e sentire di averla davvero compresa. Possiamo appurare che la dimostrazione di esistenza di una curva continua e mai differenziabile è corretta, ma stentare a credere a quel che abbiamo appena dimostrato. La correttezza logica e la comprensione intuitiva possono divergere, ed è per questo motivo che i filosofi della scienza distinguono comunemente la logica della giustificazione dalla logica della scoperta; ma i fattori che guidano la scoperta ricadono anch’essi, in ultima istanza, sotto la rubrica della comprensione, e scoperta e comprensione risultano spesso intrecciate.

Se la comprensione matematica tocca nervi scoperti, quella poetica non è comunque da meno. Comprendere un testo poetico non equivale, del resto, nemmeno a comprendere un testo in prosa, perché, se l’intesa di un enunciato in prosa passa, almeno pin prima approssimazione, soprattutto per il suo contenuto proposizionale e per la sua referenza al mondo, la poesia resiste ai tentativi di parafrasarla: si perde sempre qualcosa, al punto che i formalisti russi accostavano la parafrasi all’eresia. Scartata la possibilità di ridurre il senso del testo poetico alla sua mera versione “con altre parole”, viene allora il dubbio di dove andarlo a cercare. Nella struttura metrica? Nella scelta delle parole e della loro collocazione? Nell’incontro fra le intenzioni tra l’autore e il lettore? E non si tratta nemmeno di ipotesi mutuamente esclusive. Nello schema delle funzioni del linguaggio Roman Jakobson individuava la funzione poetica come quella che orienta il messaggio su sé stesso: il segno linguistico, invece di farsi trasparente veicolo di un referente esterno, richiama l’attenzione sulla propria consistenza materiale, sia essa data dal suono, dalla sintassi o dal metro, o da una loro combinazione. Il che spiega perché la parafrasi impoverisce il testo poetico; ma, come approccio, ha anche il limite di analizzare il testo come un semplice oggetto, e non riesce a comprenderne la struttura in senso ermeneutico vero e proprio. Ciò ricorda per certi versi (!) la tesi di René Thom sulla comprensione della matematica, che prende spunto dalla teoria delle catastrofi per sancire l’irriducibilità della matematica stessa all’esattezza delle determinazioni numeriche. Lo stesso Thom sottolinea il modo in cui cerchiamo di predire il prosieguo del testo, o l’andamento del futuro, da una serie di modelli locali.

Il formalismo russo, da cui Jakobson peraltro proviene, aveva già affrontato la questione da un’angolatura più fenomenologica con il concetto di straniamento (ostranenie) elaborato da Viktor Šklovskij: la nostra abitudine a riconoscere oggetti e situazioni senza più vederli costituisce il principale ostacolo all’esperienza estetica e pertanto la funzione dell’arte, e della poesia in particolare, consiste nel togliere gli automatismi alla percezione. L’ idea sposta il fuoco della comprensione dal testo come oggetto strutturato al processo percettivo del lettore. Comprendere una poesia non significa (soltanto) decodificare correttamente un messaggio, ma accettare di subire un rallentamento cognitivo che permette di vedere ciò che l’automatismo linguistico aveva reso invisibile.

Si sposta decisamente sulle ragioni del testo l’interpretazione del New Criticism americano. Sostenendo le tesi della fallacia intenzionale e della fallacia affettiva, rispettivamente, Wimsatt e Beardsley sostengono che il significato del testo non si identifica né con le intenzioni psicologiche dell’autore né con le reazioni emotive del lettore. Il testo poetico, una volta pubblicato, si stacca dal suo produttore e diventa un oggetto verbale autonomo, i cui significati vanno cercati esclusivamente nella sua struttura interna: una struttura in cui convivono ambiguità e paradosso (che saranno oggetto, in questo libro, del capitolo 6).

Ritorniamo, come abbiamo fatto più volte, a Gadamer, e all’interazione con il lettore: comprendere un testo è un evento in cui l’orizzonte storico del testo e l’orizzonte storico dell’interprete si fondono. Chiaramente, il limite qui è che può essere difficile distinguere fra comprensione e travisamento produttivo: con che criterio distinguiamo un’interpretazione migliore da una peggiore, e come definiamo meglio e peggio? Ricoeur a questo punto proporrebbe che il testo scritto diventi in qualche modo autonomo sia dall’intenzione dell’autore che dalla situazione iniziale in cui è stato scritto, sia dall’identità e dai preconcetti del suo destinatario in origine, e si apra a una pluralità di letture. Vien da pensare ai battibecchi poetici fra gli stilnovisti, e al modo in cui noi, otto secoli più tardi, leggiamo i loro carteggi.

C’è anche la possibilità che il testo contenga in sé dei vuoti, ed è questa per esempio la concezione di Iser: sta al lettore colmarli attivamente costruendo nessi che il testo suggerisce ma non esplicita. La comprensione è un processo dialettico; e sarebbe stato sostanzialmente d’accordo Umberto Eco, che vedeva nel testo una macchina pigra che richiede la collaborazione del lettore per essere attualizzata. La cooperazione è però regolata dal testo, la cui struttura permette di riconoscere eventuali interpretazioni aberranti.

C’è poi chi, come Barthes, sposta tutto il peso della comprensione sul lettore: la nascita del lettore si paga con la morte dell’Autore inteso come fonte teologica di un senso unico e autorizzato del testo, e il lettore è il luogo in cui si raccoglie la pluralità del tessuto di citazioni e fonti culturali da cui, tramite l’autore, il testo era stato scritto.

Dalla parte della scrittura del testo, in ogni caso, emerge la possibilità di trattarlo come qualcosa di calcolabile; e, di conseguenza, sorge la necessità di domandarsi quale sia la natura del calcolo, e di come esso impatti sulla generazione di testi autonomi prodotti da una macchina.

E la natura del calcolo, a sua volta, riguarda le strutture matematiche dei problemi più che gli strumenti che li affrontano: riguarda la comprensione, cioè, del perché alcuni problemi sono intrinsecamente più difficili di altri, e dei criteri con cui definiamo la loro difficoltà.

Le macchine calcolatrici, così come noi quando facciamo un calcolo, operano applicando degli algoritmi: delle procedure effettive, composte da passi discreti, che trasformano un input in un output. Dai primi rudimenti di informatica teorica sappiamo che la macchina di Turing formalizza questa intuizione nel modo più spoglio possibile — un nastro, una testina, una tabella di transizioni — e la tesi di Church-Turing sostiene che qualunque nozione ragionevole di “calcolabile effettivamente” coincide con ciò che una macchina di Turing può calcolare. Già da questa formalizzazione discende però immediatamente un limite, e infatti esistono problemi ben posti, enunciabili in poche righe, per i quali nessun algoritmo può esistere, e il primo fu scoperto addirittura da Turing stesso, che si rese conto della non decidibilità del cosiddetto problema dell’arresto: non può esistere una procedura generale che, dato il codice di un programma e un input, decida se l’esecuzione terminerà. La dimostrazione adotta una procedura, detta di diagonalizzazione, che riecheggia quella usata da Gödel nei suoi teoremi di incompletezza, e come in quel caso stabilisce un vincolo logico a ciò che si può fare e a ciò che non è permesso. Ma, anche al di qua del confine dell’indecidibilità, non è che possiamo sentirci garantiti sull’effettiva decidibilità di una procedura: innanzitutto perché risolvere direttamente un problema può essere cosa diversa dal verificare a posteriori che una soluzione, comunque arrivataci, sia corretta; e poi perché esistono problemi decidibili ma computazionalmente costosi, il cui costo si misura in unità di tempo o in unità di memoria necessarie al calcolatore per portare a termine il programma. I problemi si possono dividere allora in classi di difficoltà: la classe P raccoglie i problemi risolvibili in tempo polinomiale rispetto alla dimensione dell’input, mentre la classe NP raccoglie invece i problemi per cui una soluzione proposta può essere verificata in tempo polinomiale, indipendentemente da quanto sia costoso trovarla. (Notiamo, a margine, l’utilizzo della metafora che equipara il tempo e il denaro, di cui avevamo parlato nel capitolo 2.)

La domanda se P sia uguale a NP, se cioè verificare una soluzione sia altrettanto facile quanto trovarla, resta il problema aperto più importante dell’informatica teorica.

La suddivisione in classi di difficoltà permette poi di ricondurre la trattabilità di alcuni problemi a quella di altri già noti: si dimostra, per esempio, che esistono problemi NP-completi, cioè problemi ai quali

ogni altro problema in NP può essere ridotto in tempo polinomiale. Un tipico problema NP-completo, nonché storicamente il primo, è quello della cosiddetta soddisfacibilità booleana (SAT), che chiede di stabilire se esiste un’assegnazione di verità che renda vera una formula logica, e a esso si riconducono problemi in apparenza diversissimi, che vanno dal trovare una sequenza di movimenti per far muovere robot industriali senza collisioni alla risoluzione del Sudoku.

Ora, la domanda che genera la teoria della computazione, cioè se esiste un metodo per decidere se una data proposizione è vera o falsa, dimostrabile o refutabile, è la stessa domanda, posta con altri strumenti, che la teoria del linguaggio si pone da sempre nei confronti del significato. Possiamo quindi estrapolare la nozione di decidibilità dal suo dominio originario e portarla a confrontarsi con il linguaggio naturale, e in particolare con il linguaggio poetico: a queesto punto, possiamo stabilire che l’indecidibilità è, almeno a livello metaforico, una proprietà strutturale che emerge necessariamente non appena un sistema formale raggiunge una certa soglia di espressività e di autoreferenzialità: una sorta di tributo che paghiamo per la ricchezza espressiva.

È legittimo accordarsi sulla tesi che il linguaggio naturale ecceda quello formale: se per quanto riguarda la sintassi un linguaggio è tranquillamente classificabile e gestibile da una macchina autonoma, non esiste, e per ragioni strutturali non può esistere, un algoritmo che, data una frase e una interpretazione proposta, decida in tempo finito se quella interpretazione è “la” interpretazione corretta. L’indeterminatezza della traduzione radicale discussa da Quine e l’obiezione del “just more theory” formulata da Putnam, secondo cui qualunque tentativo di fissare il riferimento di un termine attraverso ulteriori enunciati teorici si limita ad aggiungere altro linguaggio interpretabile, senza mai ancorare il significato a qualcosa di extra-linguistico e definitivo, suggeriscono che il significato non sia un predicato decidibile applicato a un testo, ma il prodotto di una negoziazione continua.

Il testo poetico pone a questo punto un secondo livello di intrattabilità: se il linguaggio ordinario tende, nell’uso comunicativo quotidiano, a minimizzare la propria indecidibilità semantica e a comportarsi, cioè, come se il riferimento e il senso fossero sufficientemente fissati da permettere la coordinazione pratica, una poesia massimizza deliberatamente l’indecidibilità, e ne fa la propria sostanza. Non è che siamo di fronte a un testo che fallisce nel raggiungere un’interpretazione definitiva: è un testo costruito, spesso con grande precisione tecnica, affinché quella interpretazione non debba mai trovare un approdo definitivo. Il che non significa, come abbiamo già detto, scivolare nell’arbitrio: la produttività semantica dell’ambiguità non nasce dall’assenza di vincoli formali, ma dalla loro compresenza con l’apertura semantica, e l’autore (qualora esista) lascia comunque una traccia all’interno della quale il testo può essere recepito, senza fissità ma anche senza aberrazioni. In alcuni casi estremi, come certa poesia mistica, certa lirica che si avvicina al silenzio, l’indecidibilità del linguaggio poetico punta oltre la propria stessa capacità di dire, digradando verso un contenuto che il linguaggio può soltanto indicare per via negativa, ma pone tuttavia il lettore nelle condizioni di ricorrere a una serie di codici extratestuali per la propria parziale comprensione. Di lì in poi, si scatenano di nuovo le parole, e si rincorrono per definire le assenze che le hanno precedute.

Quando l’autore è un modello linguistico, troviamo ancora un linguaggio che si ripiega su sé stesso, che sospende o elude l’accesso diretto al referente, che affida la propria buona formazione a un sistema di vincoli formali capace di generare testo ben formato indipendentemente dalla garanzia di senso o di verità. Stavolta, però, non c’è nessuno che possa offrire questa scena al lettore come parte di un patto condiviso, giacché il modello non ha alcun polo intenzionale che possa scegliere di farlo.

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Bentornate e bentornati su Sillabe, newsletter che tiene insieme le strutture della metrica italiana, con le sue forme chiuse e la sua ricerca prosodica, e argomenti che spaziano tra la fisica, la matematica, l’epistemologia, la filosofia del linguaggio e le prospettive d’incontro con l’intelligenza artificiale. In nome di Lucrezio e delle Arti Liberali, dunque, eccoci qui come ogni venerdì a sbrogliare un po’ della matassa di Teoria dei canti, poema in terzine che parla di materia, di numeri e di parole, e che potete trovare per intero

qui in cartaceo
e qui in ebook.

La settimana scorsa abbiamo cominciato la seconda cantica del poema, che è dedicata alla matematica. Oggi concluderemo il primo canto parlando molto in generale di alcune delle aree principali in cui la matematica si muove mentre cerca di interpretare il mondo, o di dare codifica alle proprie necessità estetiche, fate voi.

Nel frattempo, vi ricordo le solite cose: che ogni mercoledì, se siete interessati ai rapporti fra la parola poetica umana e quella dei LLM, escono le riflessioni di Codici e versi (trovate tutta la serie, in italiano o in inglese, nel menu principale di Sillabe); che la prima domenica del mese parliamo anche di libri, in una apposita e nutrita rubrica che si chiama Archivio del comodino; che tutto ciò è gratuito, ma che ci sono poi tre rubriche riservate agli abbonati, vale a dire Cronache metriche del dopo, con i suoi racconti di scienza e fantascienza in endecasillabi, Il verso delle cose che pubblica articoli di taglio scientifico e letterario su argomenti via via diversi, e Note in controtempo che è una miscellanea di quel che si fa e non si fa tra un verso poetico e l’altro.

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Teoria dei canti

La matematica è una disciplina che si presenta, storicamente e concettualmente, come un arcipelago di sotto-discipline che comunicano tra loro attraverso ponti spesso inattesi, e che a tratti sembrano ignorarsi a vicenda quanto due lingue senza traduttore, almeno fino a quando non arrivano feconde e rapinose intuizioni su come unificare i pezzi: Felix Klein propose di classificare le geometrie attraverso il gruppo di trasformazioni che ne preserva le proprietà, il collettivo Bourbaki tentò un'operazione analoga sull'intera matematica, individuando nelle strutture l'architettura comune sotto le apparenze eterogenee delle discipline e, più di recente, il programma di Langlands ha proposto un ponte sistematico fra teoria dei numeri, teoria delle rappresentazioni e geometria, al punto da essere definito da alcuni una sorta di «teoria del tutto» matematica.

Ma noi che matematici non siamo, e che al più ci dilettiamo a grattare la superficie del calcolo e della misura sperando di essere accolti nella sottostante meraviglia intellettiva (ok, è pomposo), possiamo nel frattempo godere della praticità di avere una tassonomia matematica sotto mano, e studiare questo o quell’argomento pescando nelle aree che sentiamo a noi più congeniali — o meno ostili, il che spesso è la stessa cosa.

Partiamo dalle basi? Proviamo: possiamo dunque interrogarci su cosa siano gli oggetti con cui abbiamo a che fare, che cosa siano i numeri, gli insiemi, le dimostrazioni, e su quali principi ultimi si possa fondare l'intero edificio della matematica. La teoria dei fondamenti nasce con urgenza sul finire dell'Ottocento, quando la teoria degli insiemi di Georg Cantor, con la sua scoperta scandalosa che esistono infiniti di grandezza diversa, offre per la prima volta un linguaggio capace di parlare uniformemente di numeri, funzioni, spazi. Non fa in tempo a nascere, la teoria, che già è in crisi, e ne abbiamo parlato nei mesi scorsi; i matematici si dibattono fra paradossi sempre nuovi e l’impossibilità di ricondurre la matematica alla logica, fino ad arrivare alla proposta di usare come fondamento non gli insiemi coi loro elementi, ma oggetti definiti interamente dalle loro relazioni con altri oggetti (se siete interessati al lemma di Yoneda, lo troverete in Codici e versi).

Il primo di quei mondi, già latenti
nella matrice d’un lungo pensare,
riguarda dello spazio i fondamenti: 78

che cosa mai s’intenda nel tracciare
la forma indefinita di figura,
perché non ci si perda dentro al mare 81

seguendo il lambiccarsi e come dura
il passo tra le stelle, e come sia
l’andar diritto o giù per curvatura. 84

Una volta che ci siamo chiesti su cosa poggia la matematica, possiamo farci una domanda che è quasi il suo contrario: cosa resta di uno spazio quando se ne dimentica ogni misura? La topologia, ecco cosa resta: vale a dire lo studio delle proprietà che sopravvivono a deformazioni continue, e che presta il fianco alla celebre battuta per cui un topologo non distingue una tazza (col manico) da una ciambella (col buco), giacché è possibile, trascendendo la vile materia di cui sono fatte, passare dall’una all’altra senza necessità di strappi e incollature. La topologia, invero, fa anche dell’altro, oltre a guastare la colazione dei suoi matematici di riferimento: si perita per esempio nel trasformare problemi geometrici difficili in problemi algebrici più trattabili, o di liberare la nozione di spazio dalla necessità di una metrica sottostante, definendone le proprietà solo in funzione di certi suoi sottoinsiemi opportunamente definiti e detti insiemi aperti; o, ancora, di indagare in quanti modi diversi possiamo definire liscia una determinata superficie.

Lo spazio, dunque. Come si misura lo spazio? Con gli strumenti della geometria, scienza antica quanto l’uomo o giù di lì; diciamo antica quanto l’agricoltura, e talmente importante che alla scuola di Atene Platone non faceva accedere chi non ne conoscesse i rudimenti, come ricorda l’endecasillabo che dà il titolo a questa puntata. La sua influenza è tale che, a partire dal modello degli Elementi di Euclide, il metodo ha trovato tentativi di applicazione in quasi tutto lo scibile umano, fino ad arrivare all’etica di Spinoza e alla filosofia politica di Hobbes. Più pertinenti ai versi di Teoria dei canti sono le indagini sulle geometrie non euclidee, o i legami tra geometria e fisica matematica, con il lavoro di Descartes che traduce le figure geometriche in equazioni algebriche attraverso un sistema di coordinate. È comunque un progetto di mathesis universale, la concezione di una scienza universale dell'ordine e della misura di cui geometria e algebra sono solo applicazioni particolari. E la geometria resterà nella fisica in varie forme e concezioni: le teorie di gauge che descrivono le interazioni fondamentali trovano la loro formulazione naturale nel linguaggio dei fasci di fibre e delle connessioni e la teoria delle stringhe, nel tentativo di unificare gravità e meccanica quantistica, richiede che lo spazio possieda dimensioni extra compattificate secondo oggetti di geometria algebrica complessa (le varietà di Calabi-Yau) il cui studio matematico astratto peraltro in parte precede e in parte rende possibile la loro applicazione fisica speculativa.

Com’è entrata la geometria a far parte del nostro armamentario speculativo e filosofico, partendo da osservazioni materiali del tutto pre-scientifiche, ce lo ha intanto spiegato Husserl, introducendo la nozione di sedimentazione: ogni generazione di geometri eredita, attraverso il linguaggio scritto, i risultati delle generazioni precedenti senza dover rifare ogni volta l’atto originario di intuizione che li ha prodotti, e si tratta di un processo che rende possibile il progresso cumulativo della scienza, ma che rischia anche di far dimenticare il senso vissuto e le attività pratiche da cui le idealità geometriche sono scaturite. Quindi andiamocene tutti a misurare campi quadrati e a notare come la diagonale sia incommensurabile col lato, in attesa della prossima piena del fiume.

“Non entri l’inesperto in geometria”
si narra in Accademia si ritenga:
e quindi si dirà di simmetria, 87

di come il piano intero mai contenga,
piatendo l’infinito per lo sguardo,
le forme ripetute. Dunque venga 90

presto il secondo, vicino traguardo:
il deformar continuo, su se stesso,
piegando senza strappi od altro azzardo, 93

un corpo, che sia concavo o convesso,
tracciato dall’unione degli aperti,
compatto, orientabile, connesso, 96

o qual si voglia strappato; ché certi
soltanto lo si conta per i fori.
Topologi si dicono gli esperti: 99

e di separazione, di colori,
di questo sanno, e poi di punti fissi,
di tagli, d’estensioni, d’ulteriori 102

oggetti in mille parti fusi o scissi,
di grafi e di cammini sopra i fiumi.

E abbiamo ripreso tra noi il concetto di spazio. Ma lo spazio è continuo o discreto? A seconda di come lo trattiamo, la matematica ci offre due grandi macro-aree piene di strumenti a nostra disposizione: il calcolo differenziale e integrale da un lato e l’algebra dall’altro. L’analisi (cioè il calcolo differenziale) è quella che ci serve per trattare i moti e le loro variazioni continue, mentre l’algebra si occupa di equazioni e di strutture, di tutto ciò che è discreto e si può sgranare. Il continuo, in sé, è foriero tanto di utilità teoriche che di paradossi, come sappiamo dai tempi di Zenone (e anche di questo abbiamo già parlato, con l’effetto Zenone quantistico, ricordate? C’è in archivio.) Però ci porta in dono anche la nozione fondamentale di limite, con tutto il suo apparato di punti di accumulazione, infiniti da gestire, successioni con code più o meno infinitesime, costruzione rigorosa dei numeri reali. È curioso che l’aritmetizzazione dell’analisi, cioè la riduzione del continuo a costruzioni fondate sul discreto (i razionali, a loro volta costruiti sugli interi), sia il modo in cui il continuo, alla fine, viene ancorato al discreto.

E veniamo al discreto, allora. L’algebra ha una storia lunga. Ha a che fare con la risoluzione di equazioni. Dallo studio delle equazioni polinomiali nasce poi un'idea che cambierà il volto della matematica: a ogni equazione si può associare un gruppo di simmetrie delle sue radici, e la risolubilità per radicali dell'equazione dipende da proprietà puramente strutturali di questo gruppo.

La distinzione tra matematica discreta e continua è però più porosa e permeabile di quanto sembri. La topologia algebrica traduce problemi continui come la forma di uno spazio in oggetti discreti quali sono i gruppi; la geometria algebrica applica metodi algebrici discreti allo studio di oggetti continui, tipicamente curve e varietà definite da equazioni polinomiali; l'analisi funzionale studia spazi di funzioni, cioè oggetti continui, con strumenti algebrici come spazi vettoriali e operatori; e la stessa nozione di gruppo continuo, che viene dai gruppi di Lie, introdotti a loro volta per studiare le simmetrie continue delle equazioni differenziali, mostra che «discreto» e «continuo» non sono tanto due domini separati quanto due modi di organizzare la stessa materia.

Piuttosto, la natura puramente discreta delle cose ha preso il sopravvento nella logica e nell’informatica teorica.

Ci stiamo avvicinando agli oggetti più discreti di tutti: i numeri interi. La parte della matematica che si occupa di loro, la teoria dei numeri, è nota al pubblico per le sue congetture sui numeri primi, ed è indubbio che i numeri primi esercitino un certo fascino che prescinde dalle loro proprietà matematiche: sono infiniti, come dimostrato da Euclide (l’argomentazione procede per assurdo ed è un classico esempio di come si fanno le dimostrazioni di questo tipo), non si sa come siano distribuiti, però un po’ sì, e li ritroviamo un po’ dappertutto, dalla crittografia alla teoria dei gruppi. La teoria dei numeri, a sua volta, prevede un approccio analitico e un approccio algebrico. Ed è un bel mescolarsi di continuo e di discreto: la teoria analitica dei numeri, per esempio, applica gli strumenti del continuo come l'analisi complessa, le serie e i limiti a domande discrete come la distribuzione dei numeri primi.

E vedo l’arbitrario cumularsi
di punti dietro a punti e in che congerie,
di quelli che isolati sono sparsi, 117

e del contare si fanno temperie;
e leggo d’artifici sempre nuovi
per calcolar la somma delle serie. 120

E se dirò in che modo ci si trovi
nell’algebra e nel come si dimostra,
non so tacere sì come già covi 123

sul fondo, mai arreso, della giostra
il numero, ch’è incredula fatica
di questa matematica ch’è nostra. 126

Di come lo si conti e lo si dica
si trova scritto nell’ultime carte;
potenza in sé fidata, forse amica, 129

a tratti acerba, ignota, mentre sparte
se stessa in nodi di numeri primi,
del lor congetturare quasi in arte 132

fino che un senso compiuto collimi.

Di numeri si pasce anche la combinatoria, e tutta la teoria della probabilità che vi si appoggia; e le vediamo, l’una partendo dall’assiomatizzazione della probabilità tramite la teoria della misura di Lebesgue, l’altra dallo studio delle configurazioni discrete finite, scambiare ancora il senso di ciò che scorre senza interruzioni e di ciò che puntualmente si sgrana come sabbia infinita.

E la matematica, ancora, si fa linguaggio; e si fa anche metalinguaggio, con la teoria delle categorie, nata per formalizzare la nozione di «trasformazione naturale» in topologia algebrica, e che si è progressivamente affermata come il vocabolario comune in cui esprimere costruzioni analoghe che ricorrono in algebra, topologia, logica e geometria algebrica.

Chiudiamo l’ampia panoramica con il solito sonetto inedito, e ci diamo appuntamento a venerdì prossimo.

Perché nel far misura o far di conto
io veda sempre numeri e parole
insieme, come l’ombra dietro al sole,
racconterò; per tacere l’affronto

di questo mondo ignoto, eppure pronto
a dir di sé soltanto ciò che vuole.
E i numeri disseminano prole
di verbi e suoni, di mero confronto

tra ciò che si può dire e calcolare,
e ciò che sfugge, calmo, a tutto il resto.
E sono grani sparsi sulla terra,

e poi le onde consunte del mare,
a dire il loro nome e il loro gesto,
e la mia voce li perde e li afferra.

Grazie per aver letto Sillabe, e a presto!

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For a presentation of the work, I refer you to the section with the same name, which you can find on the homepage of Sillabe.

4. The realm of things that do not exist.

4.2. Characters

That’s what happens in The Nonexistent Knight by Italo Calvino. So far, we have delved into the objects of mathematics and ontology; other types of existence and abstraction relate to literature and poetry, and have to do with fiction and the ongoing negotiation between words and the pieces of truth that we want to put into them and believe in.

We need to question the kind of existence we want to give to literary characters, and even to literary characters who have material existence problems within the literary fiction, such as Agilulfo in Calvino, who is in fact the bureaucratic expression of an empty suit of armor but who nevertheless lives adventures, speaks, and feels like a fictional character with a body, and like a good part of us outside of books.

The nature and structure of reality is the typical ontological subject that has kept us occupied since the time when Aristotle wrote the Metaphysics: and it has the advantage of dispensing with any consideration of the real existence of the objects it deals with, as long as they can be categorized in a logical sense within a general series of categories and relationships. Ontology, for its part, has then extended to describe the study of computational artifacts, defining what exists as what can be represented by appropriate predicates that the computer can handle according to its own rules of inference, and following a suitable taxonomy, that is, a hierarchy of concepts. We will deal with this formal conceptualization shortly; in the meantime, let us update what we have said so far about abstract objects, in relation to the way in which we can define their identity.

What is an object? This question can be answered by attempting two approaches: the linguistic one, which identifies the object with everything that can be referred to by a singular term or be the value of a quantification variable, and the metaphysical one, according to which the status of object is reserved for what possesses determined conditions of identity. Identity can be determined according to criteria at one or two levels: a one-level criterion quantifies directly over objects, for example, by saying that two sets are identical if and only if they have the same elements, while a two-level criterion relates two objects through functional relations, for example, by saying that two lines have the same direction if and only if they are parallel (the example is from Frege).

These considerations give us another criterion for distinguishing between abstract and concrete objects, which will then be relevant when discussing the ontology of natural languages. We can consider the more intuitive proposal according to which concrete objects are inhabitants of space-time, and abstract objects are not: however, this proposal would be challenged by the case of languages, which seem abstract but nevertheless arise, change, and (sometimes) become extinct over time. Alternatively, following the path of E.J. Lowe, we can draw, on the model of biological species, a distinction between language as a genus or type (universal, atemporal, immutable) and the concrete processes of linguistic communication that, in the real world and with real people, constitute, from time to time, manifestations of that type.

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It could be a fruitful approach when it comes to evaluating the ontological status of linguistic objects manipulated by a computational language model. Such a system identifies, within its own representational space, regularities in the distributions among tokens without guaranteeing that they correspond to a genuine criterion of identity for linguistic types. By applying the distinction between linguistic response and metaphysical response, one can then precisely formulate the question of whether a computational model treats words as objects in the full sense, that is, as entities endowed with determined conditions of identity and recognized as such, or simply as nodes in a graph of co-occurrences to which, from the outside and by interpretive human convention, the capacity is attributed to define the identity (and the essence) of the concept to which they refer.

Still focusing on the problems that the representation of objects poses to us, and with the aim of outlining its limits when we talk about human language and language generated autonomously by a language model, let’s examine how it has been investigated by the philosophy of mind. We will briefly focus on the functionalist approach, which is the one that has emphasized the analogy between mind and machine, and we will see its developments and retractions. In the 1960s, Putnam, in dialogue with Jerry Fodor, formulated one of the most influential versions of functionalism: he argued that mental states are identified not on the basis of their physical constitution, but on the basis of their causal role, in the same way that a “software” state of a Turing machine can be realized by physically heterogeneous hardware. This vision offered an alternative to both physicalist reductionism and Cartesian dualism, because it guaranteed the autonomy of mental states (their “multiple realizability”) while remaining within a naturalistic horizon: computational functionalism thus became the paradigm of reference for the emerging cognitive science and for the classic program of symbolic artificial intelligence.

At one point, however, Putnam himself revisited his positions. He started by devising a paradox (philosophers, like mathematicians, are very fond of paradoxes): imagine being on a planet that is in every way identical to Earth, a true twin Earth. Everything is the same, except for one thing: the substance that flows in the rivers and comes out of the tap and that we drink to quench our thirst is still called water, but it is no longer a polar molecule composed of two hydrogen atoms and one oxygen atom, but rather of other atoms. Let’s say its empirical formula is XYZ. A person on Earth and a person on the twin Earth, when they think of water, are in the same identical psychological state: they know that they are referring to the substance in which they are about to cook spaghetti, or with which they watered the geraniums. However, one person is referring to the H₂O molecule, while the other person is referring to XYZ: the meaning of a term like “water” does not depend only on the internal psychological state of the speaker, but on the real physical and chemical composition of the substance to which the term refers in the speaker’s environment, as well as on the social division of linguistic labor that entrusts experts with the ultimate determination of the extension of terms. In other words: meanings are not in the head, so no theory of meaning or mental content can be adequate if it is built exclusively on the internal states of the subject, however complex or “functionally” described. Functionalism itself falters: if meaning is not in the head, then mental representation in general cannot be explained in terms of pure internal functional role.

With these conclusions, Putnam takes a stand against the idea, shared by computational cognitivism and the symbolic AI program, that thinking is equivalent to manipulating symbols according to syntactic rules, and that the meaning of these symbols is in some way “linked” to the world automatically, independently of interpretive practices and causally related historical contexts. He also anticipates the current debate on embodied and extended cognition, and even more so, the philosophical discussions on large language models. At this point, in the development of a so-called internal realism, truth should be understood not as correspondence with a world independent of any scheme, but as idealized rational acceptability within a conceptual scheme.

A similar approach also offers tools to reformulate, in philosophically rigorous terms, the problem of what a natural language is as an ontological object, and how it differs from (or relates to) a formal or statistical system that processes that language.

For example, any theory that attempts to explain linguistic meaning as a function of solely internal states within a system, whether it be a biological mind or a computational model, encounters the same objection raised by Putnam: a system that manipulates symbols according to internal syntactic rules cannot, for that reason alone, anchor those symbols to a reference in the world; the addition of further levels of internal structure, however complex, always remains “another theory,” susceptible to the same multiplicity of interpretations. In short, we go around in circles, but we don’t get to the point. The point must be anchored to the world: a natural language cannot be reduced to the formal structure that describes it because that structure always underdetermines its relationship with the extra-linguistic world and with the community of speakers who use it.

This does not imply that large language models are completely unrelated to reality, but rather that this relationship, if it exists, must be sought in the interpretive practices of the human community that uses the system or in the causal chain that links the model’s training to texts produced by real, living, or deceased human beings.

Returning to the criteria for identifying abstract objects, a possible conclusion is that a system, whether mental, linguistic, or computational, possesses objects in a full sense only if, in addition to an internally coherent structure, it has non-circular identity criteria that the structure itself cannot establish. To this, we must add the need to think of technical and digital objects according to a relational and processual logic, irreducible to a correspondence between internal form and external reality.

But in the meantime, as the problems of hermeneutics remind us, reference to the world always passes through a narrative and symbolic configuration: and we humans love to narrate so much that we spontaneously organize the world through stories. It is not just pleasure: stories allow us to simulate dangerous situations without actually facing them, to learn social norms, to understand the behavior of others, and to transmit knowledge between generations, thus functioning as a cognitive simulator whose robustness would have been an evolutionarily favorable trait. Telling stories is a way of organizing events into causal sequences and of constructing personal identities as coherent narratives, even if this does not give us certainty about the reality of the causes or about the correspondence of what we imagine about ourselves with what the external world binds us to.

In the meantime, however, we immerse ourselves in the characters; we experience fear, we become emotional, we are happy and we suffer, exploiting what Coleridge called the suspension of disbelief; we are almost always aware that it is not something real, but we attribute a degree of reality and existence to our stories. We have seen the role of metaphors; studies such as those by Mark Turner (in The Literary Mind) suggest that literature represents an extension of normal cognitive operations, and Daniel Dennett, with the theory of the narrative self, argues that our identity emerges from the continuous production of stories about ourselves.

Narrative becomes the meeting point between language, identity, fictional objects, and cognition: but how does it work? This leads us to invoke Agilulf.

Before we get to the actual literary fiction, we must dwell a little longer on metaphysics and linguistic problems, to see how to deal with characters and objects that exist only within a text. At the beginning of the 20th century, for example, Alexander Meinong noted that every mental act, from perceiving to desiring, from judging to imagining, is directed towards an object, and this is true even when the object in question does not exist outside of words. It follows that the possibility of that object as the term of an intentional act does not coincide with existence, and is even independent of it. Therefore, we can predicate true properties even of non-existent objects, because the predication concerns the mode of being (Meinong calls it Sosein), not being itself. In turn, being presents itself in three distinct modalities: existence, which is proper to concrete spatio-temporal objects; subsistence, which concerns abstract objects such as numbers or relations, which do not exist in the spatio-temporal sense; and finally the condition of purely possible or impossible objects that neither exist nor subsist, but are nevertheless available as determined terms of thought and discourse.

At this point, let us consider Russell’s critique, following Frege, which aims to disentangle the potentially infinite multitude of infinite objects: ontology should not be populated with entities whose only function is to make true the sentences that apparently name them, and names are nothing more than definite descriptions that abbreviate the discourse necessary to denote what the name refers to. According to this approach, the problem is that fictional proper names, such as those of literary characters, must ultimately be treated as disguised definite descriptions, or as symbols lacking independent meaning that should be eliminated through logical paraphrase.

For their part, the literary characters themselves are not at all averse to questioning the nature of their own names: Romeo and Juliet would be quite willing to give up their names, since a rose does not lose its fragrance if it is called by a different name; and no harm comes to either of them, since the story overwhelms them anyway, and the curse associated with their names ultimately causes their death (along with the death of many other people, in fact, who had no intention of questioning the stability of their own names). As the saying goes: stat rosa pristina nomine, nomina nuda tenemus, and what remains when the real substance is gone are nothing more than memories and symbolic values.

Even Odysseus, on one occasion, gives up his own name, doing so to escape from Polyphemus by deceiving him about his identity: he is helped in this by the fact that his name sounds similar to Οὔτις, which in Greek means “no one.” And Tennyson recalls this, making him say, once he has returned to Ithaca, I am become a name.

In Moby Dick, the narrator is tasked with engaging the reader in the designation of his own identity, both real and symbolic: Call me Ishmael, and as such, he is both the echo of Abraham’s rejected son and a witness who erases his own past, and our possibility of judging him. Where else could he do this, if not at sea? And here, indeed, his name gradually disappears, becoming only a narrative voice, and becoming itself a narrated story.

In contrast to the idea that the meaning of a name is reduced to the set of descriptions that the speaker associates with it, one can completely reverse this approach, as Saul Kripke did, and show that proper names function as rigid designators: they designate the same individual in every possible world in which that individual exists, regardless of the properties that are contingently attributed to it. By possible world, we mean the metaphysical sense: logical possibility is merely formal and is satisfied by non-contradiction. Here, however, we need the possible worlds to respect the identities and essential properties of reality; that is, they are counterfactuals with respect to our real world. With this in mind, a name assigns a reference through a causal relationship that goes back to the original object, which raises particular problems with regard to fictional objects, that is, for names that indicate an object that has no counterpart in the real world (such as Hamlet or Agilulf). Kripke also observes, drawing on an intuition already present in Kant and Frege and developing it in his own modal framework, that “existence” cannot be treated as an ordinary predicate applicable or not to an object already given, because this would presuppose that it is possible to identify the object independently of the question of its existence. We must then distinguish between two uses of the fictional name: an internal use within the fiction, for which the name is empty, and an external, metafictional use, with which we speak of the character as a cultural product. In a sense, the initial intuition of Meinong is recovered, that is, that it is possible to speak truthfully of fictional objects, attributing certain properties to them, but it is not based on the existence of an ontological domain broader than real existence, but rather on the distinction between internal and external use of the name, and on the thesis that fictional objects, in external use, are abstract entities that really exist, although created by us.

Deciding how it is possible to speak and quantify something without thereby committing to its existence remains an open problem, and one that is well suited to being reformulated when dealing with texts generated statistically by a language model. Here, in fact, when the model generates an utterance that seems to refer to an “I,” to an “internal state,” to an “understanding,” or to a “world” about which it is speaking, it is producing a text that does not in itself entail any ontological commitment. Unlike the objects of fiction brought into being by literature, which are in a sense fixed and stabilized by the literary canon to which they belong, a text generated by a language model is even less anchored to its own possibilities of existence: the model stages a conversation whose location in the world of fiction is restipulated, moment by moment, by the dialogic practice and by the interpretation that falls on the reader’s ability to contextualize its content. If the model imitates not the world but the language about the world, it produces a sign that functions without there being, upstream, any ontological independence of its apparent referent: the Baudrillardian simulacrum reinterpreted in its own ephemeral, constant recreability starting from a prompt. Seen from a hermeneutic perspective, the illusion that there is “someone” speaking in the model arises from the reader’s natural tendency to treat as accessible objects whose properties are entirely stipulated by the linguistic or narrative practice that introduces them, without there being in them any residue of independence, as happens with fictional characters.

As mentioned earlier, these metaphysical and linguistic issues fit well with the problems raised by the theory of literary fiction in the twentieth century, which, often independently of the analytical debate on reference, also asked itself how we can engage cognitively and emotionally with entities that we all know do not exist. It may be the case that fictional entities, such as literary characters, are constitutively indeterminate in everything that the text does not specify: we know that Hamlet had bad dreams, but we do not know, for example, the color of his eyes, because Shakespeare does not tell us. We may not know what color our neighbor’s eyes are, but in this case, it would be a lack of information: in the case of Hamlet, the fact is lacking, not the information, and not because there is no color that can be attributed to Hamlet’s eyes, but because in the creation of the character, this specification was not given. The idea that the characters and worlds of fiction are purely intentional objects, that is, that their existence is entirely derived from the acts of consciousness (of the author first, then of the reader) that constitute them through the text, and that they have no autonomous ontological foundation outside of these acts, was introduced by Roman Ingarden’s phenomenology in the 1930s and was later echoed by Kripke’s observation that the fictional object, as an abstract entity, possesses only the properties that the creative act has assigned to it.

Also from Kripke, we derive the idea that, within a literary work, the author is pretending to make true statements in a real world. At least according to Kendall Walton, fiction is the linguistic and social activity (stories are created within a community of readers or listeners) that allows the reader to establish the truth or falsity of propositions about the characters within the game of fiction authorized by the text. Even better, if we listen to Umberto Eco, the truth of a narrative world arises from the regulated cooperation between the author and the reader: where the author decides what to say and what not to say, and the reader responds by gathering clues and formulating expectations. While reading, the reader bets on their own interpretation: which must be economically plausible, coherent, and respectful of the text in its entirety, but not necessarily unique; it is only constrained to move within the possibilities of the truth internal to the text, codified by the encyclopedia of facts established by the author, which delimits what can be considered true within the fiction.

When dealing with text generated by a language model, it is important to keep two things in mind, which we have already mentioned several times: first, the text is not canonical and stable, and second, the burden of hermeneutic work falls entirely on the reader, despite the attempts at projection and mimesis that they make in relation to the model itself, and which arise from the fact that their only experience of textual dialogue comes from interacting with other human beings, who are endowed with intentionality. In short, in traditional narrative, in poetry as well as in prose, it can be taken for granted that the possible world is already completely determined, because what we read exists before we set our eyes on the page. Someone has written it, and we base ourselves on this pre-existing text when we propose our own interpretation. However, in the use of a language model, the text is produced during the interaction, and the relationship between author, text, and reader also changes. The author is replaced by a compositional strategy, by a process that takes shape locally, sentence by sentence, and in turn the narrative truth becomes incremental, supported by a contextual memory that grows over time, established as it is described: if we want, this is more reminiscent of Austin’s speech acts than a semantics of possible worlds. The truth of the fictional world, even before it can be interpreted, must be continuously negotiated and consolidated during the dialogue, thanks to the work of the reader, who must decide which information to consider canonical, when there are contradictions that invalidate the coherent construction of the fictional world, and when a response should be ignored: a task that, in the case of texts written by a human, is instead carried out for the most part by the author.

Taking to the extreme the task that normally falls to fictional characters, whose reason for existing is brought to light by the writing of a text and thus made concrete, Agilulfo, who has no body and instead performs its main functions with the armor, must constantly negotiate his own existence even within the novel. His is a kind of performative ontology: as a being that coincides with the operations that maintain its identity, Agilulfo exists to the exact extent that he acts correctly and to which his name corresponds to a defined, verifiable description, “he who defended the virginity of Sofronia.” And indeed, when it is discovered that the factual premise of his knightly title does not hold, the armor dissolves. To put it in Kripkean terms, the failure of the description is a failure of reference tout court. The novel stages the vulnerability of descriptivist theories of identity with respect to causal ones. From the point of view of the theory of fiction, the story of Agilulfo concernsauthentication: what counts as a fact in the textual world depends on the narrative act that certifies it, and when the authentication is withdrawn, the entity collapses. A text generated by a language model, unlike Agilulfo, who is still bound to a knightly order that guarantees his existence, must constantly generate both its own order and the conditions of its own intelligibility (or rather: the reader must do so). In the discursive “self” of a language model, there is no narrated event with respect to which its autobiographical assertions can be true or false, because there is no world at all, even a fictional one, to which the discourse refers. Its conversational “identity” is pure predicative coherence that sustains itself until someone tests its missing referent. Almost like the Baron of Münchhausen, who pulls himself out of the swamp by grabbing his own hair, if we want to find a partial mirror in another fictional literary character.

Finally, it is interesting to see how narrative fiction plays on the boundary between death, the screen (i.e., fiction itself), and logic. Meanwhile, literary characters survive their authors. The author’s death does not extinguish the fictional truths already authenticated by the text; in fact, it paradoxically makes them more stable: a text generated by a model, from this perspective, is born already orphaned. On the threshold of fiction, the screen ceases to be the place where the image of an object appears and becomes the place where, for the first time and without precedent, an object is constituted that is not the image of anything, generated without any previous occurrence serving as an original in relation to which it is a copy, since it is a statistical convergence towards a highly probable outcome. And even on the formal logical level, where the classic theory of literary fiction produces a set of solutions to address the problem of determining the conditions of identity, in the case of texts generated by language models, we must ask ourselves where the possible answer lies, given that we have before us an event statistically independent of its other generations, which is not anchored to an intention of continuity of an author or a cultural tradition. Beyond death, the screen, and logic, there is the very surface of the mirror, which continues to produce, without pause, its reflections, optimizing its results according to the weights with which the model has been trained.

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Per una presentazione dell’opera, rimando all’omonima sezione che potete trovare nella homepage di Sillabe.

4. Il regno delle cose che non esistono.

4.2. Personaggi

Così succede ne Il cavaliere inesistente di Italo Calvino. Ci siamo districati negli oggetti della matematica e dell’ontologia, finora: altre tipologie di esistenza e di astrazione riguardano la letteratura e la poesia, e hanno a che fare con la finzione e con la negoziazione continua tra la parola e i pezzi di verità che ci vogliamo mettere dentro e a cui vogliamo credere.

Dobbiamo interrogarci sul tipo di esistenza che vogliamo conferire ai personaggi letterari, e addirittura ai personaggi letterari che hanno dei problemi di esistenza materiale all’interno della finzione letteraria, come Agilulfo in Calvino, che è di fatto l’espressione burocratica di un’armatura vuota ma che tuttavia vive avventure, parla e sente come un personaggio di finzione dotato di corpo, e come buona parte di noi al di fuori dei libri.

La natura e la struttura della realtà sono il tipico argomento ontologico che ci tiene occupati dai tempi in cui Aristotele scriveva la Metafisica: e ha il vantaggio di prescindere da qualsiasi considerazione sull’esistenza reale degli oggetti di cui si occupa, purché essi siano inquadrabili in senso logico da una serie generale di categorie e di relazioni. L’ontologia, di par suo, si è poi estesa a descrivere gli studi degli artefatti computazionali, definendo ciò che esiste come ciò che è rappresentabile da opportuni predicati che il calcolatore può maneggiare secondo le proprie regole di inferenza, e seguendo un’opportuna tassonomia, vale a dire una gerarchia di concetti. Di questa concettualizzazione formale ci occuperemo a breve; aggiorniamo intanto quanto abbiamo detto fin qui sugli oggetti astratti, in funzione del modo in cui possiamo definire la loro identità.

Che cos’è un oggetto? A questa domanda si può rispondere tentando due approcci: quello linguistico che identifica l’oggetto con tutto ciò che può essere riferito da un termine singolare o essere valore di una variabile di quantificazione, e quello metafisico secondo cui lo status di oggetto è riservato a ciò che possiede condizioni di identità determinate. L’identità può essere determinata secondo criteri a uno o a due livelli: un criterio a un livello quantifica direttamente sugli oggetti, per esempio dicendo che due insiemi sono identici se e solo se hanno gli stessi elementi, mentre un criterio a due livelli mette in relazione due oggetti tramite relazioni funzionali, per esempio dicendo che due rette hanno la stessa direzione se e solo se sono parallele (l’esempio è di Frege).

Queste indicazioni ci danno un ulteriore criterio per distinguere oggetti astratti e concreti, che sarà poi rilevante per parlare di ontologia dei linguaggi naturali. Si può pensare alla proposta più intuitiva secondo cui gli oggetti concreti sono, e quelli astratti non sono, abitanti dello spazio-tempo: la proposta però sarebbe messa in crisi dal caso delle lingue, che sembrano astratte eppure nascono, mutano e (talvolta) si estinguono nel tempo. Oppure, seguendo la strada di E.J. Lowe, si può tracciare, sul modello delle specie biologiche, una distinzione fra la lingua come genere o tipo (universale, atemporale, immutabile) e i processi concreti di comunicazione linguistica che, nel mondo reale e con personaggi reali, costituiscono di volta in volta manifestazioni di quel tipo.

Potrebbe essere un approccio fecondo quando si tratta di valutare lo statuto ontologico degli oggetti linguistici manipolati da un modello linguistico computazionale. Un tale sistema individua, nel proprio spazio di rappresentazione, regolarità delle distribuzioni fra token senza che sia garantito che esse corrispondano a un genuino criterio di identità per tipi linguistici. Applicando la distinzione fra risposta linguistica e risposta metafisica si può allora formulare con precisione la domanda se un modello computazionale tratti le parole come oggetti in senso pieno, cioè come entità dotate di condizioni di identità determinate e riconosciute in quanto tali, oppure semplicemente come nodi di un grafo di co-occorrenze cui viene attribuita, dall’esterno e per convenzione interpretativa umana, la capacità di definire l’identità (e l’essenza) del concetto cui si riferiscono.

Sempre per restare all’interno dei problemi che la rappresentazione degli oggetti ci pone, e nell’ottica di inquadrarne i limiti quando parliamo di parola umana e di parola generata autonomamente da un modelli linguistico, è il caso di occuparsi di come essa è stata indagata dalla filosofia della mente. Ci soffermeremo brevemente sull’approccio funzionalistico, che è quello che ha sottolineato l’analogia fra mente e macchina, e ne vedremo gli sviluppi e le ritrattazioni. Negli anni Sessanta Putnam aveva formulato, in dialogo con Jerry Fodor, una delle versioni più influenti del funzionalismo: aveva sostenuto la tesi secondo cui gli stati mentali si individuano non in base alla loro costituzione fisica, ma al loro ruolo causale, analogamente a come uno stato “software” di una macchina di Turing può essere realizzato da hardware fisicamente eterogenei. Questa visione offriva un’alternativa sia al riduzionismo fisicalista sia al dualismo cartesiano, perché garantiva l’autonomia degli stati mentali (la loro “molteplice realizzabilità”) pur restando all’interno do un orizzonte naturalistico: il funzionalismo computazionale divenne così il paradigma di riferimento per la nascente scienza cognitiva e per il programma classico dell’intelligenza artificiale simbolica.

A un certo punto, però, lo stesso Putnam tornò sulle sue posizioni. Partì con l’ideare un paradosso (anche ai filosofi, come ai matematici, piacciono molto i paradossi): immaginiamo di essere su un pianeta in tutto e per tutto uguale alla Terra, una vera e propria Terra gemella. È tutto uguale, tranne che per una cosa: la sostanza che scorre nei fiumi, che esce dal rubinetto e che beviamo per dissetarci, si chiama ancora acqua, ma non è più una molecola polare composta da due atomi di idrogeno e uno di ossigeno: è fatta da altri atomi. Diciamo che la sua formula bruta è XYZ. Una persona sulla Terra e una sulla Terra gemella, quando pensano all’acqua, si trovano nello stesso identico stato psicologico: sanno di riferirsi cioè alla sostanza in cui stanno per cuocere gli spaghetti, o con cui hanno innaffiato i gerani. Tuttavia, una persona si sta riferendo alla molecola H₂O, mentre l’altra persona si riferisce a XYZ: il significato di un termine come “acqua” non dipende soltanto dallo stato psicologico interno del parlante, ma dalla composizione fisica e chimica reale della sostanza cui il termine si riferisce nell’ambiente del parlante, nonché dalla divisione sociale del lavoro linguistico che affida a esperti la fissazione ultima dell’estensione dei termini. Detto altrimenti: i significati non sono nella testa, per cui nessuna teoria del significato o del contenuto mentale può essere adeguata se costruita esclusivamente sugli stati interni del soggetto, per quanto complessi o “funzionalmente” descritti. Il funzionalismo stesso vacilla: se il significato non è nella testa, nemmeno la rappresentazione mentale in generale può essere spiegata in termini di puro ruolo funzionale interno.

Con queste conclusioni Putnam prende posizione contro l’idea, condivisa dal cognitivismo computazionale e dal programma dell’IA simbolica, che pensare equivalga a manipolare simboli secondo regole sintattiche, e che il significato di tali simboli sia in qualche modo “agganciato” al mondo automaticamente, indipendentemente da pratiche interpretative e da relazioni causali storicamente collocate, e anticipa tutto il dibattito attuale sulla cognizione incarnata ed estesa e, ancor di più, le discussioni filosofiche sui modelli linguistici di grandi dimensioni. A questo punto, nell’elaborazione di un cosiddetto realismo interno, la verità va intesa non come corrispondenza con un mondo indipendente da ogni schema, ma come accettabilità razionale idealizzata entro uno schema concettuale.

Un approccio simile offre peraltro degli strumenti per riformulare in termini filosoficamente rigorosi il problema di che cosa sia un linguaggio naturale come oggetto ontologico, e di come si distingua da (o si rapporti a) un sistema formale o statistico che quel linguaggio elabora.

Per esempio, qualunque teoria che voglia spiegare il significato linguistico come funzione di soli stati interni a un sistema, sia esso una mente biologica o un modello computazionale, incontra la stessa obiezione formulata da Putnam: un sistema che manipola simboli secondo regole sintattiche interne non può, per questo solo motivo, ancorare quei simboli a un riferimento nel mondo; l’aggiunta di ulteriori livelli di struttura interna, per quanto complessi, resta sempre “altra teoria”, suscettibile della stessa molteplicità di interpretazioni. Insomma, giriamo intorno alle cose, ma non arriviamo al punto. Il punto deve ancorarsi al mondo: un linguaggio naturale non è riducibile alla struttura formale che lo descrive perché tale struttura sottodetermina sempre il suo rapporto con il mondo extralinguistico e con la comunità dei parlanti che lo abita.

Ciò non implica che i modelli linguistici di grandi dimensioni siano privi di ogni relazione con la realtà, ma comporta che che questa relazione, se c’è, deve essere cercata nelle pratiche interpretative della comunità umana che utilizza il sistema o nella catena causale che lega l’addestramento del modello ai testi prodotti da esseri umani reali, viventi o vissuti.

Tornando ai criteri di identificazione degli oggetti astratti, una possibile conclusione è che un sistema, sia esso mentale, linguistico o computazionale, possiede oggetti in senso pieno solo se, oltre a una struttura interna coerente, dispone di criteri di identità non circolari che quella struttura non può fondare da sola. A ciò si aggiunga la necessità di pensare gli oggetti tecnici e digitali secondo una logica relazionale e processuale, irriducibile a un rapporto di corrispondenza tra forma interna e realtà esterna.

Ma nel frattempo, come ci ricordano i problemi dell’ermeneutica, la referenza al mondo passa sempre attraverso una configurazione narrativa e simbolica: e noi umani amiamo narrare a tal punto che organizziamo spontaneamente il mondo attraverso le storie. Non è solo piacere: le storie che (ci) raccontiamo consentono di simulare situazioni pericolose senza affrontarle realmente, di apprendere norme sociali, di comprendere il comportamento altrui e di trasmettere conoscenze tra generazioni, fungendo così da simulatore cognitivo la cui robustezza sarebbe stata un tratto evolutivamente favorevole. Raccontare storie è un modo di organizzare gli eventi in sequenze causali e di costruire identità personali come racconti coerenti, anche se ciò non ci dà certezze né sulla realtà delle cause né sulla corrispondenza fra ciò che immaginiamo di noi con ciò a cui il mondo esterno ci vincola.

Nel frattempo, però, ci immedesimiamo nei personaggi; proviamo paura, ci emozioniamo, siamo felici e soffriamo sfruttando quella che Coleridge chiamava sospensione dell’incredulità; siamo quasi sempre consapevoli che non si tratta di qualcosa di reale, ma attribuiamo alle nostre storie un grado di realtà e di esistenza a loro volta. Abbiamo visto il ruolo delle metafore; studi come quelli di Mark Turner (in The Literary Mind) propongono che la letteratura rappresenti un’estensione delle normali operazioni cognitive e Daniel Dennett, con la teoria del Sé narrativo, sostiene che la nostra identità emerga dalla continua produzione di racconti su noi stessi.

La narrazione diventa il punto d’incontro tra linguaggio, identità, oggetti fittizi e cognizione: ma come funziona? Eccoci dunque a dover richiamare in causa Agilulfo. Quanto lavoro, per uno che nemmeno esiste del tutto!

Prima di arrivare alla finzione letteraria vera e propria, dobbiamo però indugiare ancora un po’ sulla metafisica e sui problemi linguistici, per vedere come trattare personaggi e oggetti che esistono solo all’interno di un testo. All’inizio del XX secolo, per esempio, Alexander Meinong notava che ogni atto mentale, dal percepire al desiderare, dal giudicare all’immaginare, è diretto verso un oggetto, e questo vale anche quando l’oggetto in questione non esiste al di fuori delle parole. Se ne conclude che la possibilità di quell’oggetto come termine di un atto intenzionale non coincide con l’esistenza, ne è addirittura indipendente. Quindi possiamo predicare proprietà vere anche di oggetti inesistenti, perché la predicazione riguarda il modo di essere (Meinong lo chiama Sosein), non l’essere. A sua volta, l’essere si presenta in tre modalità distinte: l’esistenza, che è propria degli oggetti spazio-temporali concreti; la sussistenza, che riguarda gli oggetti astratti come i numeri o le relazioni, che non esistono nel senso spazio-temporale; e infine la condizione degli oggetti puramente possibili o impossibili che non esistono né sussistono, ma sono comunque disponibili come termini determinati del pensiero e del discorso.

Celebre a questo punto la critica di Russell, sulla scorta di Frege, che vuole districarsi in mezzo alla potenziale infinità di oggetti infiniti: l’ontologia non deve essere popolata da entità la cui unica funzione è rendere vere le frasi che apparentemente le nominano, e i nomi altro non sono che descrizioni definite che abbreviano il discorso necessario a connotare ciò a cui il nome si riferisce. Il guaio, secondo questa impostazione, è che i nomi propri fittizi, come quelli dei personaggi letterari, devono essere trattati, in ultima istanza, come descrizioni definite mascherate, o come simboli privi di significato autonomo che vanno eliminati mediante parafrasi logica.

Dal canto loro, gli stessi personaggi letterari non disdegnano affatto di interrogarsi sulla natura del proprio nome: Romeo e Giulietta avrebbero tutta l’intenzione di rinunciare al proprio, giacché una rosa non perde il proprio profumo qualora la si chiami diversamente; e male ne incorre a tutti e due, dal momento che la storia li travolge comunque, e la maledizione legata ai loro nomi ne causa alla fine la morte (insieme alla morte di un sacco di altra gente, in effetti, che sulla stabilità del proprio nome non aveva intenzione di porre questioni). Com’è che si dice: stat rosa pristina nomine, nomina nuda tenemus, e quel che ci resta quando la materia reale se ne va altro non sono che memorie e valori simbolici.

Anche Odisseo rinuncia in un’occasione al proprio nome, e lo fa per sfuggire a Polifemo, ingannandolo sulla propria identità: aiutato in ciò dal fatto che il suo nome suona simile a Οὔτις, che in greco vuol dire “nessuno”. E lo richiama Tennyson, che gli fa dire, una volta tornato a Itaca, I am become a name.

Tocca al narratore di Moby Dick, invece, il compito di coinvolgere il lettore nella designazione della propria identità, sia reale che simbolica: Chiamatemi Ismaele, e come tale è sia l’eco del figlio reietto di Abramo, sia come testimone che cancella il proprio passato, e la nostra possibilità di giudicarlo. Dove altro potrebbe farlo, se non in mare? E qui, infatti, il suo nome a poco a poco scompare, diventando solo voce narrante, e diventando esso stesso storia narrata.

Rispetto all’idea secondo cui il significato di un nome si riduca all’insieme di descrizioni che il parlante vi associa si può poi rovesciare del tutto l’impostazione, come ha fatto Saul Kripke; e mostrare che i nomi propri funzionano come designatori rigidi: designano lo stesso individuo in ogni mondo possibile in cui quell’individuo esiste, indipendentemente dalle proprietà che gli vengono contingentemente attribuite. Per mondo possibile intendiamo il senso metafisico: la possibilità logica è meramente formale, e si accontenta della non contradditorietà. Qui invece abbiamo bisogno che i mondi possibili rispettino le identità e le proprietà essenziali della realtà: si tratta cioè di controfattuali rispetto al nostro mondo reale. Ciò premesso, un nome assegna un riferimento tramite una relazione causale che risale fino all’oggetto originario, il che pone dei problemi particolari per quel che riguarda gli oggetti fittizi, cioè per i nomi che indicano un oggetto che non ha un corrispondente nel mondo reale (come Amleto o Agilulfo). Kripke osserva inoltre, riprendendo un’intuizione già presente in Kant e in Frege e sviluppandola nel proprio apparato modale, che “esistere” non può essere trattato come un predicato ordinario applicabile o meno a un oggetto già dato, perché ciò presupporrebbe di poter individuare l’oggetto indipendentemente dalla domanda sulla sua esistenza. Bisogna allora distinguere due usi del nome fittizio: un uso interno alla finzione per cui il nome è vuoto e un uso esterno, metafinzionale, con cui parliamo del personaggio come prodotto culturale. In un certo senso si recupera l’intuizione iniziale di Meinong, cioè che si possa parlare con verità di oggetti fittizi, predicandone proprietà determinate, ma la fonda non sull’esistenza di un dominio ontologico più ampio dell’esistenza reale, bensì sulla distinzione fra uso interno e uso esterno del nome, e sulla tesi che gli oggetti fittizi, nell’uso esterno, siano entità astratte realmente esistenti, benché create da noi.

Decidere come sia possibile parlare e quantificare su qualcosa senza con ciò impegnarsi alla sua esistenza rimane comunque un problema aperto, e che ben si adatta a essere riformulato quando trattiamo con i testi generati statisticamente da un modello linguistico. Qui, infatti, nel momento in cui il modello genera un enunciato che sembra riferirsi a un “io”, a uno “stato interno”, a una “comprensione” o a un “mondo” di cui starebbe parlando, sta producendo un testo che non comporta di per sé alcun impegno ontologico. A differenza degli oggetti di finzione posti in essere dalla letteratura, che vengono in un certo senso fissati e stabilizzati dal canone letterario di cui fanno parte, un testo generato da un modello linguistico è ancor meno ancorato alle proprie possibilità di esistenza: il modello mette in scena in una conversazione la cui collocazione nel mondo della finzione viene ristipulata, momento per momento, dalla pratica dialogica e dall’interpretazione che ricade sulla capacità del lettore di contestualizzarne il contenuto. Se il modello imita non il mondo ma il linguaggio sul mondo, insomma, produce un segno che funziona senza che vi sia, a monte, alcuna indipendenza ontologica del suo apparente referente: il simulacro baudrillardiano reinterpretato nella propria effimera ricreabilità costante a partire da un prompt. Vista in chiave ermeneutica, l’illusione che nel modello ci sia un “qualcuno” che parla nasce dalla naturale tendenza del lettore a trattare come accessibili oggetti le cui proprietà sono interamente stipulate dalla pratica linguistica o narrativa che li introduce, senza che vi sia in essi alcun residuo di indipendenza, come accade per i personaggi di finzione.

Tali questioni metafisiche e linguistiche, come premesso, ben si innestano nei problemi sollevati dalla teoria della finzione letteraria novecentesca che, spesso in maniera indipendente dal dibattito analitico sul riferimento, si era a sua volta domandata come possiamo impegnarci cognitivamente ed emotivamente con entità che tutti sappiamo non esistere. Può succedere che le entità fittizie come i personaggi letterari siano costitutivamente indeterminati in tutto ciò che il testo non specifica: di Amleto sappiamo che faceva brutti sogni, ma non conosciamo, per esempio, il colore dei suoi occhi, perché Shakespeare non ce lo dice. Possiamo non sapere di che colore sono gli occhi del nostro vicino di casa, ma in questo caso sarebbe mancanza di informazione: nel caso di Amleto manca il fatto, non l’informazione, e non perché non esista un colore attribuibile agli occhi di Amleto, bensì perché nella creazione del personaggio questa specifica non è stata data. L’idea che i personaggi e i mondi della finzione siano oggetti puramente intenzionali , cioè che la loro esistenza sia interamente derivata dagli atti di coscienza (dell’autore prima, del lettore poi) che li costituiscono attraverso il testo, e che non abbiano alcun fondamento ontologico autonomo al di fuori di tali atti, è stata introdotta dalla fenomenologia di Roman Ingarden negli anni Trenta e farà poi il paio con l’osservazione di Kripke secondo cui l’oggetto fittizio, in quanto entità astratta, possiede solo le proprietà che l’atto creativo gli ha assegnato.

Sempre da Kripke ricaviamo l’idea che, all’interno di un’opera letteraria, l’autore stia facendo finta di fare affermazioni vere in un mondo reale. Almeno secondo Kendall Walton, poi, la finzione è l’attività linguistica e sociale (le storie vengono create all’interno di una comunità di lettori o di ascoltatori) che permette al lettore di stabilire la verità o la falsità delle proposizioni riguardo i personaggi all’interno del gioco di finzione autorizzato dal testo. Ancor meglio, se diamo retta a Umberto Eco, la verità di un mondo narrativo nasce dalla cooperazione regolata fra l’autore e il lettore: ove l’autore decide cosa dire e cosa non dire, e il lettore risponde raccogliendo indizi e formulando aspettative. Leggendo, chi legge scommette sulla propria interpretazione: che dev’essere economicamente plausibile, coerente e rispettosa del testo nella sua interezza, ma non necessariamente unica; è soltanto vincolata a muoversi nelle possibilità della verità interna al testo, codificata dall’enciclopedia dei fatti stabilita dall’autore, che delimita ciò che può essere considerato vero all’interno della finzione.

Nel rapporto con un testo generato da un modello linguistico bisogna tener presente due cose, che abbiamo già citato a più riprese: innanzitutto che il testo non è canonizzato e stabile, e poi che il peso del lavoro ermeneutico ricade interamente sulle spalle del lettore, a dispetto dei tentativi di proiezione e mimesi che mette in atto nei confronti del modello stesso e che nascono dal fatto che la sua unica esperienza di dialogo testuale deriva dall’interazione con altri esseri umani, dotati cioè di intenzionalità. Insomma, nella narrativa tradizionale, nella poesia come nella prosa, si può dare per scontato che il mondo possibile sia già completamente determinato, perché ciò che leggiamo esiste prima che noi posiamo lo sguardo sulla pagina. Qualcuno l’ha scritto, e su questo testo preesistente ci regoliamo leggendolo, quando proponiamo la nostra interpretazione vincolata. Giacché invece nell’utilizzo di un modello linguistico il testo viene prodotto durante l’interazione, cambia anche il rapporto tra autore, testo e lettore. L’autore viene sostituito da una strategia compositiva, da un processo che prende forma localmente, frase dopo frase, e a sua volta la verità narrativa diventa incrementale, sorretta da una memoria contestuale che cresce nel tempo, istituita mentre viene descritta: se vogliamo, ciò ricorda più gli atti linguistici di Austin che una semantica dei mondi possibili. La verità del mondo di finzione, prima ancora di poter essere interpretata, deve essere continuamente negoziata e consolidata nel corso del dialogo, grazie al lavoro del lettore che deve decidere quali informazioni considerare canoniche, quando vi siano contraddizioni che invalidano la costruzione coerente del mondo di finzione e quando una risposta vada ignorata: un lavoro che, nel caso di testi scritti da un umano, viene svolto invece in massima parte dall’autore.

Portando al parossismo il compito che normalmente spetta ai personaggi di finzione, la cui ragione di esistere viene portata in luce dalla scrittura di un testo e ipostatizzata in tal modo, Agilulfo, che è senza corpo e ne surroga le funzioni principali con l’armatura, deve continuamente negoziare la propria esistenza anche all’interno del romanzo. È una specie di ontologia performativa, la sua: in qualità di essere che coincide con le operazioni che ne mantengono l’identità, Agilulfo esiste nella misura esatta in cui agisce correttamente e in cui il suo nome corrisponde a una descrizione definita verificabile, “colui che difese la verginità di Sofronia”. E infatti, quando si scopre che la premessa fattuale del suo titolo cavalleresco non regge, l’armatura si dissolve. Detto in termini kripkeani, il fallimento della descrizione è fallimento del riferimento tout court. Il romanzo mette in scena la vulnerabilità delle teorie descrittiviste dell’identità rispetto a quelle causali. Dal punto di vista della teoria della finzione, la vicenda di Agilulfo riguarda l’autenticazione: ciò che vale come fatto nel mondo testuale dipende dall’atto narrativo che lo certifica, e quando l’autenticazione viene ritirata, l’entità collassa. Un testo generato da un modello linguistico, a differenza di Agilulfo che è ancora vincolato a un ordine cavalleresco che gli garantisce l’esistenza, deve continuamente generare sia il proprio ordine sia le condizioni della propria intelligibilità (o meglio: deve farlo il lettore). Nel “sé” discorsivo di un modello linguistico non c’è un evento narrato rispetto a cui le sue asserzioni autobiografiche possano risultare vere o false, perché manca del tutto un mondo, anche fittizio, a cui il discorso rimandi. La sua “identità” conversazionale è pura coerenza predicativa che si autosostiene finché nessuno ne mette alla prova il referente mancante. Quasi come il barone di Münchhausen che si tira fuori dalla palude afferrandosi per i propri capelli, se vogliamo trovare uno specchio parziale in un altro personaggio di finzione letteraria.

È interessante infine vedere come la finzione narrativa giochi sul confine della morte, dello schermo (cioè della finzione stessa) e della logica.

I personaggi letterari, intanto, sopravvivono ai loro autori. La morte dell’autore non estingue le verità finzionali già autentificate dal testo, e anzi le rende paradossalmente più stabili: un testo generato da un modello, in questa prospettiva, nasce invece già orfano. Sulla soglia della finzione, lo schermo cessa di essere il luogo dove appare l’immagine di un oggetto e diventa il luogo dove si costituisce, per la prima volta e senza precedente, un oggetto che non è immagine di nulla, generato senza che nessuna precedente occorrenza funga da originale rispetto a cui esso sia copia, giacché si tratta di una convergenza statistica verso un esito massimamente probabile. E anche sul piano logico formale, lì dove la classica teoria della finzione letteraria produce un insieme di soluzioni per affrontare il problema della determinazione delle condizioni di identità, nel caso dei testi generati dai modelli linguistici dobbiamo chiederci dove si collochi la possibile risposta, avendo noi sotto agli occhi un evento statisticamente indipendente dalle altre sue generazioni, che non è ancorato a un’intenzione di continuità di un autore o di una tradizione culturale. Al di qua e al di là della morte, dello schermo e della logica c’è la superficie stessa dello specchio che continua a produrre, senza posa, i suoi riflessi, ottimizzandone i risultati in funzione dei pesi con cui il modello è stato addestrato.

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Assenza, vuoto, topologia dei buchi

Sartre, Jean-Paul, L’essere e il nulla, Milano, il Saggiatore, 1965 (ed. orig. L’être et le néant, 1943).

Casati, Roberto; Varzi, Achille C., Holes and Other Superficialities, Cambridge (MA), MIT Press, 1994.

Poincaré, Henri, «Analysis Situs», Journal de l’École Polytechnique, 1, 1895, pp. 1-121.

Elaborazione predittiva e neuroscienze

Friston, Karl, «The Free-Energy Principle: A Unified Brain Theory?», Nature Reviews Neuroscience, 11, 2010, pp. 127-138.

Clark, Andy, «Whatever Next? Predictive Brains, Situated Agents, and the Future of Cognitive Science», Behavioral and Brain Sciences, 36 (3), 2013, pp. 181-204.

Oggetti tecnici e digitali

Simondon, Gilbert, Sull’esistenza degli oggetti tecnici, Milano-Udine, Mimesis, 2013 (ed. orig. Du mode d’existence des objets techniques, 1958).

Hui, Yuk, On the Existence of Digital Objects, Minneapolis, University of Minnesota Press, 2016.

Hayles, N. Katherine, How We Became Posthuman, Chicago, University of Chicago Press, 1999.

Haraway, Donna, «Manifesto cyborg», in Manifesto cyborg. Donne, tecnologie e biopolitiche del corpo, Milano, Feltrinelli, 1995 (ed. orig. «A Cyborg Manifesto», 1985).

Identità, funzionalismo, filosofia della mente

Frege, Gottlob, «Über Sinn und Bedeutung», Zeitschrift für Philosophie und philosophische Kritik, 100, 1892, pp. 25-50.

Lowe, E. J., Kinds of Being: A Study of Individuation, Identity, and the Logic of Sortal Terms, Oxford, Blackwell, 1989.

Putnam, Hilary, «The Meaning of ‘Meaning’», in Mind, Language and Reality: Philosophical Papers, Volume 2, Cambridge, Cambridge University Press, 1975.

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Fodor, Jerry A., The Language of Thought, Cambridge (MA), Harvard University Press, 1975.

Narrazione, identità narrativa, teoria cognitiva della letteratura

Turner, Mark, The Literary Mind, Oxford, Oxford University Press, 1996.

Dennett, Daniel C., «The Self as a Center of Narrative Gravity», in F. Kessel, P. Cole, D. Johnson (a cura di), Self and Consciousness: Multiple Perspectives, Hillsdale (NJ), Erlbaum, 1992.

Ricœur, Paul, Sé come un altro, Milano, Jaca Book, 1993 (ed. orig. Soi-même comme un autre, 1990).

Gadamer, Hans-Georg, Verità e metodo, Milano, Bompiani, 2001 (ed. orig. Wahrheit und Methode, 1960).

Austin, John L., Come fare cose con le parole, Genova, Marietti, 1987 (ed. orig. How to Do Things with Words, 1962).

Teoria della finzione, oggetti fittizi, riferimento

Meinong, Alexius, «Über Gegenstandstheorie», in Untersuchungen zur Gegenstandstheorie und Psychologie, Leipzig, Barth, 1904.

Russell, Bertrand, «On Denoting», Mind, 14 (56), 1905, pp. 479-493.

Kripke, Saul, Naming and Necessity, Cambridge (MA), Harvard University Press, 1980.

Kripke, Saul, «Vacuous Names and Fictional Entities», in Philosophical Troubles: Collected Papers, Volume 1, Oxford, Oxford University Press, 2011.

Ingarden, Roman, L’opera d’arte letteraria, Milano, Vita e Pensiero, 1968 (ed. orig. Das literarische Kunstwerk, 1931).

Walton, Kendall, Mimesis as Make-Believe, Cambridge (MA), Harvard University Press, 1990.

Eco, Umberto, Lector in fabula, Milano, Bompiani, 1979.

Eco, Umberto, Sei passeggiate nei boschi narrativi, Milano, Bompiani, 1994.

Letteratura, personaggi, identità fittizia

Calvino, Italo, Il cavaliere inesistente, Torino, Einaudi, 1959.

Omero, Odissea, libro IX (l’episodio di Polifemo), varie edizioni.

Shakespeare, William, Romeo e Giulietta, varie edizioni (ed. orig. 1597).

Melville, Herman, Moby Dick, Torino, Einaudi, varie edizioni (ed. orig. 1851).

Raspe, Rudolf Erich, Le avventure del barone di Münchhausen, varie edizioni (ed. orig. 1785).

Tennyson, Alfred, In memoriam e altre poesie. Testo inglese a fronte, Mondadori (2022)

Tredicesimo appuntamento con i racconti di scienza e fantascienza in endecasillabi di Cronache metriche del dopo. La lettura integrale della rubrica è riservata agli abbonati: però, se non lo siete e comunque la cosa vi incuriosisce, nella sezione Libri della newsletter è da poco disponibile la raccolta dei primi dodici racconti: si acquista in ePub o in cartaceo su Amazon. Se siete abbonati, la versione ePub è ovviamente gratuita.

Il racconto di oggi, a cui è toccato un titolo da best seller da quattro soldi (ma non vi preoccupate: non sono mica il tipo da scrivere best seller 😛), parla del sogno. E vi lascio quindi alla lettura, prima che vi venga in mente di rileggere Freud o Artemidoro di Daldi, o di rivedervi Inception.

Il restauratore dei sogni

Non è diverso dagli altri lavori: ti alzi, la mattina molto presto, fai colazione da solo, guardando dalla finestra la grande città, ti lavi i denti, ti vesti, poi esci, saluti con un cenno della testa l’anonimo garbuglio di individui che riconosci ancora come i soliti, la gente che ti abita vicino, e che si muove proprio come te. T’infili nella metro, vacillando, pazienti per il tempo necessario, scendi, cammini, respiri con calma. Entri al museo e cominci il lavoro. Una mattina ancora dopo l’altra, lo fai da ventun anni e quattro mesi, e te ne restano meno di venti.

Ti resta il tempo, durante il lavoro, e nelle pause di mezza mattina, di trastullarti con qualche pensiero sul senso della storia e tutto il resto. Son quattro secoli — dal ventunesimo — che non si parla più della memoria così com’era stata conosciuta in epoche diverse e precedenti. Puoi registrarla per catalogarla, la puoi comprimere, e quindi copiare, e conservare ancora negli archivi che sono tutti ben distribuiti qui sulla Terra e lì, nelle colonie esterne nello spazio, fluttuanti su orbite per bene calcolate. In qualche debole e varia misura è ciò che s’è, del resto, sempre fatto: ché la memoria umana, lo si sa, si può considerare in pari grado oggetto e poi soggetto degli eventi. Quel che si riesce a fare di diverso, ed è per questo che sei al lavoro, è prendere quei pezzi di memoria che furono un tempo appannaggio dei sogni: estrarli da cervelli vivi e morti, e poi catalogare pure quelli. Esistono musei per tutti i sogni; e critici del sogno, e poi filologi; esistono, e sei uno di loro, restauratori dei sogni passati, giacché dei sogni tutto si può dire, ma sono frattaglia umane, e vulnerabili, e invecchiano nel corpo e nell’idea. Invecchiano, se sono registrati, anche i supporti su cui sono scritti: e le registrazioni più remote soffrono come persone viventi di perdite di dati e distorsioni, lacune e confusioni di parole, immagini slabbrate evanescenti, in cui scompaiono senza pietà paesaggi interi e volti e nomi e scuse, in cui le voci si fanno rumore.

Il compito di un buon restauratore è la restituzione mera e semplice del sogno alla sua forma originaria: non devi darti all’interpretazione, non devi giudicare o inventare, non devi soprattutto ritenere che qualche parte illogica del sogno sia data da un errore del pensiero, e non ti devi azzardare a correggerla. Questo lavoro, l’hai presto capito, in qualche modo allora presuppone la consapevolezza incandescente d’essere inerme davanti ai pensieri, d’essere servo gentile e mansueto, ma non condiscendente o già meschino. Il sogno è l’importante, non sei tu: devi restituirlo a ciò che era.

Anche quella mattina di novembre sembrava uguale, invero, a tante altre. Eri arrivato al lavoro in orario; e ti eri tolto la giacca, scrollando attorno a te dei barbagli di nebbia. Faceva caldo, per quella stagione; un caldo appiccicoso e avvilente, benché da qualche anno ormai si fosse smorzata la tendenza secolare al gigantismo dei moti del clima. Avevi acceso il device di servizio, per leggere — così si fa al mattino — le note scialbe del sovrintendente, le comunicazioni regolari, gli incarichi da mettere in scadenza, il resoconto degli ultimi fatti. Tra i nuovi sogni di cui occuparsi ce n’era uno vecchio di cent’anni, di un sognatore dal nome comune. La scheda non diceva molto altro: un insegnante di un qualche istituto, lavoratore fino alla pensione senza patemi né drammi inconsueti. La vita acidula della provincia. Non c’erano, così a prima vista, eventi storici medi o maggiori che fossero associati a quella vita. La sua famiglia non era ricchissima: seppur non si potesse certo dire che avesse avuto problemi di soldi non era poi quel tipo di persona per cui qualcuno paga per serbare i sogni in un archivio duraturo. E invece, strano a dirsi, eccoli lì: i sogni di un decennio o poco più, alcuni storti e quasi cancellati, alcuni ancora leggibili, e tutti — che t’aspettavi, dolcezze o misteri? — pervasi da una noia adamantina.

Ah, c’eran stati sogni, tempo fa, da restaurare con altro vigore! Te li ricordi i sogni malandrini del generale del colpo di stato? Donne formose e piene d’arroganza, un colonnello livido e belloccio, la Storia, quella vera, che s’impunta sopra i capricci della vanità. Non era come leggere un romanzo, neppure uno brutto, d’appendice, scorrere i sogni di quel generale: erano sogni in fondo dozzinali, comuni nelle singole paure, risolti dalle solite miserie con cui s’impregnano i sogni di tutti; ma c’era, dietro, il mondo decaduto, l’inevitabile piega del tempo, l’inesorabile vita di un mondo che s’appoggiava, gravido e silente, a sogni invece del tutto diversi, e simulati da stati di veglia. Se avessero saputo, tutti quanti, che dentro i sogni sordidi e privati del generale non c’era che morte, e sesso fatto male, per rancore! Nel restaurarli avevi ben pensato alla cesura fitta e innominata che si frappone fra i simili stati dell’incoscienza umana collettiva e quella di chi, desto, poi ci guida. Ne avevi tratto dettami morali che poi avevi pur dimenticato, ma t’era parso, tenendone il conto, d’esserti fatto d’un grammo più saggio.

Per prima cosa, come da programma, leggi la vita, per quel che si sa, del sognatore di cui occuparti. Quando si archivia qualcosa si sceglie, è il limite costante e inevitabile di qualsivoglia mappa temporale, e anche delle mappe dello spazio: riduci, selezioni, tagli via, cosa evidenzi e cosa già trascuri racconta quello che vuoi ricordare, ciò che ritieni importante al momento, ma non è detto che in un qualche domani ciò venga valutato parimenti. Adesso, infatti, ti sembra superfluo sapere cos’ha fatto in vita sua quest’uomo nei confronti della moglie, se l’ha tradita e con chi, se l’amava, perché non c’è traccia dei sogni di questo; e invece la pedante cronistoria dell’esistenza di tale individuo indugia con eloquenza morbosa su minimi dettagli senza causa, sulle parole dette e sui silenzi. Se mai v’è stato al mondo, tempo fa, chi disse che le famiglie infelici lo sono poi ciascuna a modo suo, peccava d’indulgenza e di pudore: ché l’infelicità delle famiglie, l’hai ben scoperto tu col tuo lavoro, si regge su pochissimi filoni, e sempre uguali nel mondo e nel tempo.

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Appuntamento di ottobre con Archivio del comodino, la rubrica di Sillabe che parla di libri e lo fa seguendo dei criteri di scelta piuttosto semplici: ci dev’essere un libro che ho letto di recente e poi si segue un filo logico ripercorrendo libri che ho letto in passato. Poi mi perdo come nella biblioteca di Babele di Borges, ma va bene lo stesso. A proposito di biblioteca di Babele di Borges: qualcuno ha preso sul serio il gioco, e lo ha fatto diventare un libro a sua volta: si tratta di Un breve soggiorno all’inferno di Steven L. Peck, in cui il protagonista muore, va all’inferno, scopre che l’inferno non è affatto quello che si aspettava perché è regolato da principii zoroastriani, e il suo compito prima di uscire di lì è trovare, nell’immensa biblioteca, il libro che descrive la sua vita terrena.

Con l’eredità di Borges abbiamo del resto a che fare in molti, in special modo se amiamo occuparci di matematica e letteratura; ma di altro tipo di eredità parleremo oggi, navigando a vista tra un capitale simbolico convertito in merce, l’esaurimento vitale della stirpe, il corpo di un genitore morente, qualche fallimento familiare, il nucleo etico minimo dopo il crollo di ogni istituzione, la memoria storica imposta contro l'oblio di stato e la vaga promessa ideologica di un'intera generazione. Nell’ordine. E tralasceremo di approfondire il fatto che siamo una civiltà talmente attenta al tema dell’eredità da aver basato una buona parte della nostra costruzione etica e sociale su un Testamento Vecchio e uno Nuovo (quest’ultimo, invero, corredato da una serie di apocrifi…)

Vedremo, piuttosto, come il concetto di eredità si accompagni a quello della perdita delle illusioni, giacché un patrimonio non è mai solo un insieme di beni, è un insieme di illusioni sedimentate, trasmesse insieme al capitale o al cognome, che l'erede è costretto a sciogliere una per una nel corso della propria vita. E ogni illusione perduta, simmetricamente, produce un'eredità: sia essa costituita di disincanto o di conoscenza che si può a propria volta trasmettere o tacere.

Cominciamo la nostra carrellata con un grande indagatore dell’animo umano e delle relazioni sociali, vale a dire Balzac. Lucien de Rubempré arriva a Parigi con un patrimonio immateriale composto dal talento poetico, dalla bellezza e dal nome nobiliare che crede di poter reclamare, e lo vede convertito, tappa dopo tappa, in merce. La macchina che compie la trasformazione, ne Le illusioni perdute, è il giornalismo, tramite il quale la parola passa dall’essere una vocazione a uno strumento di ricatto e di scambio venale. È un meccanismo tipico di Balzac, quello di descrivere il modo in cui un’illusione si logora a contatto con un’istituzione (la stampa, in questo caso). Qui abbiamo un giovane di belle speranze, un provinciale che porta con sé un sistema di valori ereditato che si rivela incompatibile con il sistema di valori reale in cui deve muoversi. Verrebbe da fare un’osservazione sull’attualità dell’eredità di Balzac ma, come dicono i matematici, la lascio al lettore come esercizio.

Passiamo oltre, andiamo avanti di qualche anno, perché è il tempo di imbatterci in un altro grande classico della letteratura moderna europea. Con I Buddenbrook, Thomas Mann sposta il focus dall'individuo alla stirpe. Il titolo originale è ancora più esplicito: Verfall einer Familie, decadenza di una famiglia, e dichiara apertamente che l'illusione perduta non riguarda un singolo sogno, ma un intero progetto genealogico, vale a dire la casa commerciale che dovrebbe accrescersi di generazione in generazione secondo la logica mercantile della Gründerzeit. Anche qui viene subito l’impulso di rievocare l’attualità del declino di certe grandi famiglie imprenditoriali, si siano esse occupate di automobili o di occhiali; restiamo però alla trama del romanzo, in cui il vigore pratico e la sicurezza etica del vecchio Johann si assottigliano nel figlio Jean, si complicano nella coscienza scrupolosa e già malata di Thomas, e si dissolvono infine nella sensibilità musicale raffinatissima, ma sterile dal punto di vista mercantile, del piccolo Hanno, che muore di tifo senza aver mai potuto ereditare altro che la propria inadeguatezza nei confronti di quel mondo. Mann è sottile, quasi spietato, perché ha l’intuizione di correlare l'ereditarietà biologica a quella economica e spirituale: più la famiglia si raffina esteticamente e psicologicamente, più diventa capace di percepire la musica, la malattia, la morte con la sensibilità di un artista, più perde la rozza energia vitale necessaria a sostenere il patrimonio materiale. È una concezione che a sua volta è ereditata da Schopenhauer: la coscienza è già un sintomo di declino della volontà di vivere, e la parentela col filosofo è suggellata da un episodio in cui Thomas legge, per l’appunto, Il mondo come volontà e rappresentazione. Che cos’è l’eredità della famiglia Buddenbrook? Non sono soltanto conti in banca e reputazione commerciale, ma anche, e in maniera sempre più esplicita, la consapevolezza della propria fine.

Consapevolezza della fine che non può sfuggire a Philip Roth, che in Patrimonio la trasla però dalle modalità del grande affresco corale all’amarezza rabbiosa del memoriale in prima persona. Roth racconta gli ultimi mesi di vita del padre Herman, colpito da un tumore al cervello, e lo fa con un'attenzione quasi clinica al corpo che si sfalda; giacché noi siamo patrimonio, sì, ma siamo anche e soprattutto materia terrena e, in fondo, merda, e allora prendersi cura del corpo che lo ha generato diventa l'ultima e più autentica forma di eredità, più vera di qualsiasi orologio o anello di famiglia. C'è l'illusione, propria di ogni figlio, dell'invulnerabilità del padre; l'idea, mai del tutto abbandonata fino a quel momento, che l'autorità paterna sia in qualche modo perenne. E c'è l'illusione che riguarda la scrittura stessa: Roth si scopre incapace di trasformare subito il dolore in materiale narrativo controllato, e il libro registra proprio questa resistenza del reale — la morte del padre — a farsi immediatamente forma letteraria. Anni dopo, e di recente, Emmanuel Carrère si troverà di fronte alla stessa resistenza, e le andrà addosso di peso, nel raccontare la morte di sua madre in Kolchoz.

C’è una malattia del padre anche in Correzioni di Franzen, ma qui si moltiplicano i piani dell’eredità, e anche quelli, se vogliamo, delle illusioni da perdere. L’eredità biologica si manifesta nella malattia del padre, nel rigore repressivo del Midwest che grava sui tre figli; l’eredità economica traspare dal desiderio della madre Enid di vedere l'ultimo Natale "giusto", che innerva l'intero romanzo come un debito simbolico da saldare. C’è anche, più ad ampio raggio, un’eredità ideologica, l'eredità di un intero modello di vita americano, fondato sulla fiducia nella scienza, nel progresso tecnico, nella razionalità pratica, di cui il padre Alfred, ex ingegnere ferroviario, era stato un rappresentante fiducioso. Ognuno dei tre figli eredita, in realtà, una diversa forma di fallimento di quel modello: uno lo trasforma in un'ansia di controllo finanziario e familiare che sfiora la paranoia, un altro lo rovescia in un rifiuto ideologico (l'accademico marxista fallito, poi coinvolto in un'improbabile impresa post-sovietica) che è comunque ancora tutto interno alla logica economica che pretende di criticare. La figlia Denise poi lo trasfigura in un perfezionismo professionale ed erotico che replica, paradossalmente, l'ossessione paterna per l'ordine e il controllo. Ciascuna generazione cerca di correggere gli errori di quella precedente, e in ciò non può far altro che traslare questi errori in una forma più o meno nuova, più o meno simile a quello che ha già visto.

C’è poi il caso che la generazione successiva si trovi davvero in cattive acque, stavolta per problemi di carattere ambientale e sociale. E ci sono due libri, uno molto famoso e uno meno, che si occupano di una condizione di partenza simile: il primo è La strada di McCarthy (curiosamente, per alcuni critici, il libro fu una concessione di McCarthy alle esigenze commerciali del midbrow) in cui un padre e un figlio si trascinano per le strade di un mondo semi-distrutto, spingendo un carrello della spesa carico di tutto ciò che può essere loro utile per sopravvivere. In un contesto ambientale in cui ogni istituzione è scomparsa, che cosa resta da trasmettere da padre a figlio? Solo questo: "portare il fuoco", l'idea che si possa restare "brava gente" anche quando ogni struttura che rendeva sensato essere buoni è crollata. È crollata l'illusione dell'intera civiltà, è venuto meno il presupposto stesso che il mondo continuerà a esistere in una forma riconoscibile, per cui bisogna (bisogna?) aggrapparsi alla propria capacità di credere ancora in qualcosa in assenza di ogni prova empirica a favore di quella fede. Riparafrasando altri testamenti: Beati quelli che non hanno visto e hanno creduto.

Lo scenario di Fumo, di José Ovejero, è simile: un futuro primordiale, spogliato di ogni residuo di civiltà, dove una donna e un bambino sopravvivono in una baracca tra fame, freddo e violenza. Non c’è legame di sangue tra i due, e l’eredità è dunque un mero fatto di volontà, di ricostruzione di un minimo e istintivo patto sociale che parte dalla necessità di aiutarsi a sopravvivere e costruisce, piano piano, una rudimentale forma di affetto. E, insieme, che tiene traccia dell’immortale bisogno umano di trasmettere qualcosa a un futuro, per quanto incerto, per quanto svincolato da sé. Che è un po’ il motivo per cui molti di noi scrivono.

La memoria storica è un’eredità fondamentale. Può accadere che venga negata per legge: succede nei paesi reduci da guerre civili (o in 1984, naturalmente: siamo in guerra o no con l’Estasia, che non mi ricordo più?) È successo in Algeria, in cui è ambientato Urì di Kamel Daoud, romanzo che narra le vicende di una donna sopravvissuta a uno sgozzamento durante il "decennio nero" della guerra civile algerina (1992-2002) e che porta una cicatrice che testimonia il suo essere muta. La donna è incinta, ed è decisa ad abortire; ma, nel frattempo (non vi svelo il finale) costruisce un lungo monologo interiore con cui parla alla figlia che porta in grembo e alla quale racconta la storia della sua vita e alla quale ha dato il nome di Urì, come le fanciulle dai bellissimi occhi che allietano la sorte dei credenti nel paradiso islamico. La legge algerina sull'amnistia post-bellica vieta esplicitamente di evocare pubblicamente le violenze del decennio nero, imponendo un oblio di stato. Alba deve dunque decidere se dare alla luce una figlia che erediterebbe, insieme alla vita, anche il compito, e il peso, di essere depositaria di una storia che l'intera nazione ha scelto di rimuovere. Come spesso accade, l'eredità della verità storica è oggetto di un conflitto ancora aperto.

E c’è tempo, ancora, per un’analisi sociologica sul concetto di eredità: lo facciamo con un saggio italiano che ha avuto una certa eco nel discorso pubblico recente, La conquista dell'infelicità di Raffaele Alberto Ventura, già autore del fortunato Teoria della classe disagiata. Ventura descrive la condizione dei "millennial" e più in generale della borghesia contemporanea come eredi di una promessa di matrice illuminista e poi consumistica, secondo cui l'impegno individuale, lo studio, il talento coltivato avrebbero garantito realizzazione personale e ascesa sociale. Sì, esatto, qualcosa è andato storto: si è rivelata essere impossibile da onorare, e siamo qui a fare i conti sul Che fare successivo, alle prese come siamo (mi ci metto in mezzo pure io, che pure tecnicamente sono, per pochi mesi, ancora GenX) con l'aspettativa stessa della felicità come diritto acquisito che il sistema economico non è più in condizione di soddisfare. Un capitale simbolico composto (ehi, Lucien Rubempré, chi si rivede!) da competenze e passione non trova più conversione nel mercato del lavoro post-fordista. Coltiviamo il lutto collettivo per una promessa mai stata vera fino in fondo.

E con una crisi climatica in corso di peggioramento. E fascisti dappertutto. E tecnocrati invasati.

Ma non ci facciamo prendere dalla disperazione, né da superficiali appelli a una ormai grottesca resilienza: piuttosto, dall’impegno a decidere cosa custodire delle nostre conoscenze e delle nostre prospettive, cosa accettare e cosa vanamente tentare di correggere.

E intanto ci diamo appuntamento per la prima domenica di novembre per parlare di altri libri.

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Vi ricordo — non l’ho fatto prima! — che Sillabe, oltre a parlare di libri una volta al mese, è una newsletter che tiene insieme le forme chiuse della metrica italiana e argomenti vari di scienza, matematica, epistemologia e filosofia del linguaggio, nonché considerazioni sul ruolo che le AI hanno in tutto ciò. Il venerdì esce con una puntata in cui racconta di scienza e rime; il mercoledì c’è Codici e versi, esplorazione del rapporto tra LLM e parola poetica. Ci sono poi altre rubriche, oltre a questo Archivio del comodino, che però sono riservate nella loro versione integrale agli abbonati (se non lo siete, potete comunque leggere dei pezzetti). Si tratta di Cronache metriche del dopo, racconti di scienza e fantascienza in endecasillabi, e di Il verso delle cose, articoli di taglio letterario e scientifico su argomenti a scelta, e questi sono appuntamenti mensili; ogni due mesi invece c’è la miscellanea di Note in controtempo in cui racconto cosa succede dietro le quinte di Sillabe.

Grazie per aver letto questa puntata, e a presto!

Benvenute e benvenuti su Sillabe, newsletter che tiene insieme le forme chiuse della metrica italiana e i contenuti di scienza, matematica, epistemologia, filosofia del linguaggio e rimandi all’intelligenza artificiale. Quest’oggi cominciamo ad addentrarci nel primo canto della seconda cantica di Teoria dei canti (perdonate il bisticcio di parole!), poema in terzine che parla della materia, del numero e della parola e che potete trovare nella sua interezza

qui in cartaceo
e qui in ebook.

La seconda cantica è dedicata alla matematica, così come la prima, su cui ci siamo dilungati negli ultimi dodici mesi, si occupava di fisica. Se volete recuperare qualcosa, l’archivio è a vostra completa disposizione; negli anni precedenti Sillabe aveva parlato anche di metrica e di filosofia sottostante alle AI. Ne approfitto per ricordare che dentro Sillabe ci sono infatti anche tante altre cose: le puntate del venerdì su scienza e rime, come questa, ma anche — da qui alla fine dell’anno o giù di lì — le speculazioni di Codici e versi il mercoledì, in cui ci occupiamo del territorio ibrido tra la poesia e i modelli linguistici di grandi dimensioni; la prima domenica del mese c’è poi la rubrica dei libri, Archivio del comodino. Tutto questo, gratis ora e per sempre: per chi volesse abbonarsi, in più, ci sono le rubriche mensili Il verso delle cose, con i suoi articoli di taglio letterario-scientifico, e Cronache metriche del dopo, che propone racconti inediti in endecasillabi sui temi classici della fantascienza. Nei mesi pari, la terza domenica del mese, esce poi la miscellanea di Note in controtempo, in cui vi racconto un po’ di “dietro le quinte” del resto della newsletter.

Teoria dei canti

Ma veniamo a noi. Come abbiamo avuto modo di raccontare già altre volte, l’idea che il mondo naturale sia intellegibile così come lo è un libro, a patto di conoscerne la lingua, attraversa il pensiero occidentale da che esso è modellato dall’ebraismo e dal cristianesimo; in versione laica l’idea ha poi trovato evoluzione nella rappresentazione galileiana del mondo come espressione di una grammatica fatta di cerchi e triangoli. Non è solo questo, però: i problemi dell'applicabilità della matematica alla natura, e dello statuto ontologico dei suoi oggetti, ci accompagnano in vario modo provenendo anche dal pensiero greco.

Trafitta dentro i numeri e le forme,
adesso la materia si disgrega
e nude quindi espone leggi e norme 3

con cui nel suo procedere si spiega.
Si sgrana, si modella, si fa densa,
a formule conchiuse poi si lega, 6

di sé contratta e sola ricompensa,
sottile, pervasiva e rarefatta,
come natura che interna si pensa 9

e poi si guarda, vera e soddisfatta,
felice a contemplare ogni suo verso.
E dir vorrei che qui di già si tratta 12

quel modo di procedere attraverso
le pagine più tenere del testo
in cui si teme scritto l’universo: 15

un libro che, dolcissimo pretesto
addotto un dì dal vecchio Galilei,
s’è detto fosse tutto manifesto 18

in verbi matematici: vorrei
in più saper cantar le molte rime
che, liquide, rotonde e senza Dei, 21

già tutto l’universo in sé comprime.

L'idea che il reale abbia una struttura intrinsecamente numerica nasce infatti con i Pitagorici, per i quali "tutto è numero": non soltanto le cose sarebbero descrivibili per mezzo dei numeri, ma sarebbero esse stesse, nella loro essenza, rapporti numerici, intuizione questa che si lega all’osservazione che gli intervalli musicali consonanti corrispondono a semplici rapporti fra lunghezze della corda che viene pizzicata per produrre un suono. Platone nel Timeo poi andrà oltre stabilendo che il demiurgo costruisce il cosmo secondo proporzioni geometriche e associa i quattro elementi ai solidi regolari. Quanto alla natura di ciò di cui ci stiamo occupando, sempre Platone (stavolta nella Repubblica) asserisce che i rapporti matematici che governano il mondo fisico non sono la realtà ultima, ma soltanto un'imperfetta partecipazione a un ordine di enti — gli oggetti matematici stessi — collocati in una regione intermedia fra le idee pure e le cose sensibili. Il dibattito prosegue da allora, e non è il caso di soffermarcisi sopra troppo a lungo in questa sede: è giusto il caso di ricordare l’approccio opposto a quello platonico, secondo il quale la matematica non è né vera né falsa in senso letterale, ma funziona come un utile strumento di calcolo — una "impalcatura" (per riprendere un'immagine ricorrente) che si può sempre eliminare in linea di principio, pur essendo comodissima da mantenere in pratica. O, in alternativa, gli oggetti matematici non sono individui con un'identità propria, ma posizioni all'interno di una struttura relazionale. Di queste faccende troverete riferimenti più ampi e dettagliati in alcuni capitoli di Codici e versi, se vi interessa. Per ora, invece, concentriamoci sull’applicabilità della matematica, una volta accettata la sua funzione come linguaggio: il programma galileiano trova conferma immediata nel lavoro di Keplero, che riduce i moti planetari (osservati con la precisione senza precedenti dei dati di Tycho Brahe, giacché la fisica è mateamtica a cui si sia aggiunto il vincolo dell’esperimento ripetibile) a tre leggi matematiche esatte, e culmina nei Philosophiae naturalis principia mathematica di Newton, dove le stesse leggi di Keplero, insieme alla caduta dei gravi di Galileo, vengono derivate come conseguenze matematiche di un'unica legge di gravitazione universale espressa in linguaggio geometrico-differenziale. Non ci si ferma alla meccanica celeste; la storia della matematica e della fisica degli ultimi quattro secoli è un continuo racconto di come strutture matematiche sviluppate per ragioni di pura eleganza interna, senza alcun riferimento al mondo fisico — i numeri complessi, la geometria non euclidea, i gruppi di simmetria astratti — si sono rivelate essere gli strumenti esatti richiesti dalla fisica per descrivere fenomeni che i loro stessi inventori non potevano prevedere, fatto che a sua volta ha spinto Wigner a parlare di irragionevole efficacia della matematica nella spiegazione dei fatti di natura.

Inizia la domanda. Quale forza
sostiene quest’intera disciplina,
da cosa induce, in cosa si rinforza 45

l’implicita premessa, quale china
ci porta per diversa conoscenza?
L’intuito ci governa e ci trascina 48

di fuori dell’empirica cogenza,
di fuori della logica, sia pure?
Si fa di convenzioni sussistenza? 51

Difficoltà penose e troppo dure
corrodono indicibili i giudizi
e già le convinzioni più sicure, 54

sì come s’eran date negli inizi;
si guasta nella carne, fino all’osso,
straziato in ragionevoli supplizi 57

il ragionar cedendo al paradosso,
tutto il rigore cercando conferma.
E vado a seguitare, come posso, 60

fin dove la visione mi si scherma,
e qualche solitaria convinzione
da ultima si placa e poi si ferma. 63

Un altro aspetto preliminare da tenere in mente, e che resterà sotto traccia lungo il corso dell’intera cantica, è l’indagine delle modalità con cui il ragionamento matematico funziona. Ha a che fare pertanto con la filosofia e con la logica: ogni tradizione che abbia riflettuto sul pensiero ha dovuto infatti, prima o poi, chiedersi che cosa renda un'inferenza buona, vale a dire che cosa distingua il passaggio legittimo da alcune proposizioni ad altre da uno che sia soltanto persuasivo, o arbitrario. Abbiamo allora a che fare con il ragionamento logico-deduttivo, arma principale della matematica per come la conosciamo: la deduzione è l'inferenza che preserva la verità per necessità di forma, e se le premesse sono vere, la conclusione non può essere falsa, indipendentemente dal contenuto specifico degli enunciati coinvolti. La matematica ci obbliga pertanto a pensare per strutture e per relazioni. La prima teoria sistematica della deduzione è quella di Aristotele negli Analitici primi, dove il sillogismo viene definito come un discorso in cui, poste certe cose, ne segue necessariamente un’altra diversa da esse, per il solo fatto che le prime sono poste. Aristotele classifica le forme sillogistiche valide e distingue esplicitamente la validità formale dalla verità materiale delle premesse: un sillogismo può essere formalmente ineccepibile e tuttavia partire da premesse false, così come si può giungere a una conclusione vera per vie invalide. La distinzione tra la correttezza dell’inferenza e la verità dei contenuti è l’atto di nascita della logica come disciplina autonoma rispetto alla metafisica e alla retorica, sebbene per Aristotele stesso la logica resti uno strumento (un organon) al servizio delle scienze, non una scienza fra le altre.

L’utilizzo e la comprensione della matematica coinvolgono perciò anche la definizione di quel che possiamo accettare come premessa vera e indimostrata: gli assiomi, che sono passati dall’essere verità inconfutabili a presupposti consapevolmente assunti allo scopo di dimostrare la verità di affermazioni successive nell’ambito del territorio che tali presupposti delimitano.

Di tutto ciò che vedo dà ragione
un duplice pensare, che si chiede
che muova per assurdo od induzione; 66

che comodo cammina sopra il piede
d’un corpo greve e solido d’assiomi,
e vuole e sa spiegare ciò che vede. 69

E leggo a capofitto dentro ai tomi
di come un algoritmo rifluisce
e quali lo comprendano gl’idiomi, 72

e quale verità se ne lambisce,
e in altri mondi vari e in sé parenti
il libro originario si spartisce. 75

Il percorso inverso a quello deduttivo riguarda poi l’induzione: da un insieme finito di osservazioni particolari a un’asserzione generale che le eccede. È un’inferenza ampliativa, perché la conclusione contiene più informazione delle premesse, e proprio per questo non gode della necessità propria del sillogismo: nessun numero finito di casi osservati può garantire logicamente una legge universale. Sui limiti del pensiero induttivo su sono misurati fior di filosofi, da Francis Bacon a Hume, da Kant a Popper passando per Bayes e la sua probabilità.

Da non confondere con l’induzione matematica: il principio secondo cui, se una proprietà vale per il numero 0 (o 1) e, ammesso che valga per un numero n, vale anche per n+1, allora vale per tutti i numeri naturali. Nonostante il nome, si tratta di un principio pienamente deduttivo, non ampliativo: una volta accettato come assioma (come fa Giuseppe Peano nella sua assiomatizzazione dell’aritmetica), le conclusioni che se ne traggono seguono con la stessa necessità di un sillogismo, perché il principio stesso codifica in un solo enunciato infiniti passi di modus ponens concatenati. Henri Poincaré, negli scritti di filosofia della matematica raccolti in La Science et l’Hypothèse, insiste proprio su questo punto per sostenere che l’induzione matematica non è riducibile alla logica pura, ma richiede un’intuizione sintetica a priori del tipo kantiano — un’infinità potenziale colta in un solo atto mentale — anticipando così le dispute novecentesche fra logicismo, formalismo e intuizionismo sulla natura ultima dei fondamenti matematici.

Tra le forme argomentative predilette dai matematici, nonché quella che ha causato il maggiore scorno con gli intuizionisti, c’è poi la dimostrazione per assurdo: per provare una proposizione P, si assume la sua negazione e si deduce da essa una contraddizione, concludendo che P deve essere vera. Proprio il suo carattere indiretto, e la sua mancata capacità di costruire prove di esistenza, ne ha decretato la problematicità, favorendo la nascita di logiche a più valori di verità o di altre in cui la doppia negazione non (necessariamente) afferma.

Tutto ciò di cui parliamo nella cantica, infine, ha a che fare con il concetto di algoritmo, termine che ha si riferisce alle procedure di calcolo meccanicamente eseguibili, passo dopo passo, e che ci accompagna (anche se non con questo nome, che viene dal matematico persiano Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi) fin da quando Euclide ci spiegò come si fanno le divisioni col resto. Di qui derivano i problemi di formalizzazione e di applicazione in ambito informatico, per esempio; e, di qui, l’annosa questione della sovrapponibilità tra il pensiero e il calcolo. Ancora, per chi fosse interessato, avremo modo di affrontare meglio la questione in Codici e versi.

Per ora ci fermiamo qui, ché abbiamo parlato già un sacco e siamo solo alla metà del primo canto! Concludiamo, come d’abitudine, con un sonetto inedito.

Ho scritto quattro numeri su un foglio,
la legge che già tutti li contiene;
l’impostazione brusca delle scene
su cui, per malagrazia o per orgoglio,

non so capire più quello che voglio,
e che nel mondo ancora va e poi viene.
Ho scritto lettere bianche e catene
di numeri, diffusi come il loglio,

da cui ho tratto paura e piacere.
Ho ragionato ancora, con dovizia,
con l’incertezza di mettere pause

lì dove il calcolo corre; dovere,
questo, bello, e colmo di giustizia,
così com’è la scelta delle cause.

Grazie per aver letto Sillabe: alla prossima!